海淀區(qū)高三二模數(shù)學試題及答案理科.doc
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海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習 數(shù) 學 (理科) 2010.5審核:陳亮 校對:張浩一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1已知集合,則 A B C D2函數(shù)圖象的對稱軸方程可以為 A B C D 3如圖,是O的直徑,切O于點,連接,若,則的大小為 A. B. C. D. 4函數(shù)在定義域內零點的個數(shù)為 A0 B1 C2 D3開始S=0MS=S+k結束輸出S是否k=15已知不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4,則的值為 A1 B C1或 D06已知,是不同的直線,是不同的平面,則下列條件能使成立的是 A, B,C, D,7按照如圖的程序框圖執(zhí)行,若輸出結果為15,則M處條件為A B C D 8已知動圓C經(jīng)過點(0,1),并且與直線相切,若直線與圓C有公共點,則圓C的面積 A有最大值為B有最小值為 C有最大值為 D有最小值為二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.9在極坐標系中,若點()是曲線上的一點,則 .10某校高中年級開設了豐富多彩的校本課程,甲、乙兩班各隨機抽取了5名學生的學分,用莖葉圖表示(如右圖).,分別表示甲、乙兩班各自5名學生學分的標準差,則 .(填“”、“”或“”)11已知向量a=,b=,若,則 ; .12. 已知數(shù)列滿足,(N),則的值為 .13在中,角,所對應的邊分別為,,若,則的最大值為 .14給定集合,映射滿足:當時,;任取若,則有.則稱映射:是一個“優(yōu)映射”.例如:用表1表示的映射:是一個“優(yōu)映射”. 表1 表212323112343(1)已知表2表示的映射: 是一個優(yōu)映射,請把表2補充完整(只需填出一個滿足條件的映射);(2)若映射:是“優(yōu)映射”,且方程的解恰有6個,則這樣的“優(yōu)映射”的個數(shù)是_.三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.15(本小題滿分13分)記等差數(shù)列的前n項和為,已知.()求數(shù)列的通項公式;()令,求數(shù)列的前n項和.16(本小題滿分14分)已知四棱錐,底面為矩形,側棱,其中,為側棱上的兩個三等分點,如圖所示.()求證:;()求異面直線與所成角的余弦值;()求二面角的余弦值.17(本小題滿分13分)為保護水資源,宣傳節(jié)約用水,某校4名志愿者準備去附近的甲、乙、丙三家公園進行宣傳活動,每名志愿者都可以從三家公園中隨機選擇一家,且每人的選擇相互獨立.()求4人恰好選擇了同一家公園的概率;()設選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為,試求的分布列及期望18(本小題滿分13分)已知函數(shù),其中a為常數(shù),且.()若,求函數(shù)的極值點;()若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,求實數(shù)a的取值范圍.19(本小題滿分13分)已知橢圓和拋物線有公共焦點F(1,0), 的中心和的頂點都在坐標原點,過點M(4,0)的直線與拋物線分別相交于A,B兩點.()寫出拋物線的標準方程;()若,求直線的方程;()若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上,直線與橢圓有公共點,求橢圓的長軸長的最小值. 20(本小題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷,定義:,其中,表示函數(shù)在上的最小值,表示函數(shù)在上的最大值若存在最小正整數(shù),使得對任意的成立,則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”()若,試寫出,的表達式;()已知函數(shù),試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”,如果是,求出對應的;如果不是,請說明理由;()已知,函數(shù)是上的2階收縮函數(shù),求的取值范圍. 海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習 數(shù) 學 (理) 參考答案及評分標準 20105說明: 合理答案均可酌情給分,但不得超過原題分數(shù).第卷(選擇題 共40分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)題號12345678答案BADCABAD第卷(非選擇題 共110分)二、填空題(本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分)91 10 112 ; 1248 13 14;84. 三、解答題(本大題共6小題,共80分)15(本小題滿分13分)解:()設等差數(shù)列的公差為d,由, 可得 , 2分 即, 解得,4分 , 故所求等差數(shù)列的通項公式為.5分()依題意, ,7分 又, 9分 兩式相減得11分 ,12分 .13分16(本小題滿分14分)()證明:連結交于,連結 , , 1分, 3分,. 4分()如圖所示,以為原點,建立空間直角坐標系,則,,5分,7分異面直線與所成角的余弦值為.8分()側棱, 9分設的法向量為,,并且,,令得,,的一個法向量為.11分,13分由圖可知二面角的大小是銳角,二面角大小的余弦值為.14分 17 (本小題滿分13分)解:()設“4人恰好選擇了同一家公園”為事件A. 1分每名志愿者都有3種選擇,4名志愿者的選擇共有種等可能的情況. 2分事件A所包含的等可能事件的個數(shù)為3, 3分所以,. 即:4人恰好選擇了同一家公園的概率為. 5分()設“一名志愿者選擇甲公園”為事件C,則.6分4人中選擇甲公園的人數(shù)可看作4次獨立重復試驗中事件C發(fā)生的次數(shù),因此,隨機變量服從二項分布.可取的值為0,1,2,3,4. .8分, .10分的分布列為:01234.12分的期望為 .13分18.(本小題滿分13分)解法一:()依題意得,所以,.1分 令,得,.2分 ,隨x的變化情況入下表:x0+0極小值極大值4分 由上表可知,是函數(shù)的極小值點,是函數(shù)的極大值點. 5分() , .6分由函數(shù)在區(qū)間上單調遞減可知:對任意恒成立,.7分 當時,顯然對任意恒成立;.8分 當時,等價于,因為,不等式等價于,.9分 令, 則,在上顯然有恒成立,所以函數(shù)在單調遞增,所以在上的最小值為,.11分由于對任意恒成立等價于對任意恒成立,需且只需,即,解得,因為,所以.綜合上述,若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,則實數(shù)a的取值范圍為.13分解法二:()同解法一(), .6分由函數(shù)在區(qū)間上單調遞減可知:對任意恒成立, 即對任意恒成立,7分 當時,顯然對任意恒成立;8分 當時,令,則函數(shù)圖象的對稱軸為,.9分 若,即時,函數(shù)在單調遞增,要使對任意恒成立,需且只需,解得,所以;.11分 若,即時,由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的,假如對任意恒成立,則有,解得,與矛盾,所以不能對任意恒成立.綜合上述,若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,則實數(shù)a的取值范圍為.13分19(本小題滿分13分)解:()由題意,拋物線的方程為:, 2分()設直線的方程為:.聯(lián)立,消去,得 , 3分顯然,設,則 4分又,所以 5分由 消去,得 , 故直線的方程為或 . 6分()設,則中點為, 因為兩點關于直線對稱,所以,即,解之得, 8分將其代入拋物線方程,得:,所以,. 9分聯(lián)立 ,消去,得:. 10分由,得,即, 12分將,代入上式并化簡,得,所以,即, 因此,橢圓長軸長的最小值為. 13分20(本小題滿分14分)解:()由題意可得: ,1分.2分(), 3分, 4分,5分當時,,;當時,;當時,.綜上所述,6分即存在,使得是上的4階收縮函數(shù). 7分(),令得或.函數(shù)的變化情況如下:令,解得或3. 8分)時,在上單調遞增,因此,.因為是上的2階收縮函數(shù),所以,對恒成立;存在,使得成立. 9分即:對恒成立,由,解得:或,要使對恒成立,需且只需. .10分即:存在,使得成立.由得:或,所以,需且只需.綜合可得:. .11分)當時,顯然有,由于在上單調遞增,根據(jù)定義可得:,可得 ,此時,不成立. .13分綜合)可得:.注:在)中只要取區(qū)間(1,2)內的一個數(shù)來構造反例均可,這里用只是因為簡單而已.- 配套講稿:
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