人教A版理科數學課時試題及解析(43)立體幾何中的向量方法(二)——空間角與距離求解
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課時作業(yè)(四十三)第43講立體幾何中的向量方法(二)空間角與距離求解時間:45分鐘分值:100分1點M在z軸上,它與經過坐標原點且方向向量為s(1,1,1)的直線l的距離為,則點M的坐標是()A(0,0,2) B(0,0,3)C(0,0,) D(0,0,1)2若a(1,2,1),b(2,0,1)分別是直線l1,l2的方向向量,則l1,l2的位置關系是()A平行 B異面C相交 D相交或異面3兩平行平面,分別經過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量n(1,0,1),則兩平面間的距離是()A. B. C. D34方向向量為s(1,1,1)的直線l經過點A(1,0,0),則坐標原點O(0,0,0)到該直線的距離是()A. B. C. D.5如圖K431,長方體ABCDA1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為1,則異面直線AD1和C1D所成角的余弦值是()圖K431A. B C. D.6在平行四邊形ABCD中,ABAC1,ACD90,將它沿對角線AC折起,使AB和CD成60角(如圖K432),則B、D間的距離為()圖K432A1 B2 C. D2或7三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直,長度分別為6,4,4,則其頂點到底面的距離為()A. B2 C. D.8在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別為棱AA1、BB1的中點,G為棱A1B1上的一點,且A1G(01),則點G到平面D1EF的距離為()A. B. C. D.圖K4339如圖K433,四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PD平面ABCD,且PDAD1,AB2,點E是AB上一點,當二面角PECD的平面角為時,AE()A1 B. C2 D210已知三棱錐OABC的側棱OA,OB,OC兩兩垂直,E為OC的中點,且OA1,OBOC2,則平面EAB與平面ABC夾角的余弦值是_11如圖K434,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側棱AA1長為b,且AA1與A1B1,A1D1的夾角都是60,則AC1的長等于_圖K434圖K43512如圖K435,AO平面,BCOB,BC與平面的夾角為30,AOBOBCa,則AC_.13如圖K436,在空間直角坐標系中有棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1,點M是線段DC1上的動點,則點M到直線AD1距離的最小值為_圖K43614(10分)如圖K437,放置在水平面上的組合體由直三棱柱ABCA1B1C1與正三棱錐BACD組成,其中,ABBC.它的正視圖、俯視圖、側視圖的面積分別為21,21,1.(1)求直線CA1與平面ACD所成角的正弦值;(2)在線段AC1上是否存在點P,使B1P平面ACD?若存在,確定點P的位置;若不存在,說明理由圖K43715(13分) 如圖K438,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD為等邊三角形,ADDE2AB,F為CD的中點(1)求證:AF平面BCE;(2)求證:平面BCE平面CDE;(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值圖K43816(12分) 如圖K439,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都是4,E是BC的中點,動點F在側棱CC1上,且不與點C重合(1)當CF1時,求證:EFA1C;(2)設二面角CAFE的大小為,求tan的最小值圖K439課時作業(yè)(四十三)【基礎熱身】1B解析 設M(0,0,z),直線的一個單位方向向量s0,故點M到直線的距離d,解得z3.2D解析 根據共線向量定理,顯然a,b不平行,所以l1,l2的位置關系是相交或異面3B解析 兩平面的一個單位法向量n0,故兩平面間的距離d|n0|.4D解析 直線l的一個單位法向量s0,向量(1,0,0),故點O到直線l的距離為d.【能力提升】5C解析 建立如圖所示的空間直角坐標系則A(2,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),1(2,0,1),(0,2,1),故異面直線AD1和C1D所成角的余弦值為|cos1,1|.6D解析 ACD90,0.同理0,AB和CD成60角,60或120.,222222222223211cos,|2或,即B、D間的距離為2或,故選D.7C解析 設三棱錐為PABC,且PA6,PBPC4,以P為原點建立空間直角坐標系如圖,則P(0,0,0),A(6,0,0),B(0,4,0),C(0,0,4),(6,0,0),(6,4,0),(6,0,4),設面ABC的一個法向量為n(x,y,z),則n,n,所以yzx,所以可選面ABC的一個法向量為n(2,3,3),所以P到面ABC的距離d|cos,n|,選C.8D解析 如圖,如果過點G直接向平面D1EF作垂線,垂足為H,如果我們能求出向量,那么|就是點G到平面D1EF的距離在正方體中,建立空間直角坐標系非常方便,因此用坐標的方法,解決這個問題如圖,以射線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則G(1,1),E,F,(0,1,0),D1(0,0,1),1.過點G向平面D1EF作垂線,垂足為H,由于點H在平面D1EF內,故存在實數x,y使xy1,由于GHEF,GHED1,所以解得故,所以|,即點G到平面D1EF的距離是.9D解析 以D為原點,射線DA,DC,DP為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系,如圖,設E(1,y0,0)(0y02),則(1,2y0,0),設平面PEC的法向量為n1(x,y,z),xyz(2y0)12,記n1(2y0,1,2),而平面ECD的法向量n2(0,0,1),則二面角PECD的平面角滿足cos|cosn1,n2|,cosy02.當AE2時,二面角PECD的平面角為.10.解析 以O為原點,OB,OC,OA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0)設平面ABC的法向量為n1(x,y,z),則由n1知n12xz0,由n1知n12yz0,取n1(1,1,2)設平面EAB的法向量為n(x,y,z),則由n知n2xz0,由n知n2xy0,取n(1,2,2)則cosn,n1,所以平面EAB與平面ABC夾角的余弦值為.11.解析 由已知1,1,120,90.|1|2|1|2|1|2|2|221221b2a2a2abab2a2b22ab,故|1|.12.a解析 ,其中,90,120,故|2|2|2|2|22223a22a2cos1202a2,故|a,即ACa.13.a解析 設M(0,m,m)(0ma),(a,0,a),直線AD1的一個單位方向向量s0,由(0,m,am),故點M到直線AD1的距離d,根式內的二次函數當m時取最小值2aa2a2,故d的最小值為a.14解答 由已知可得AB平面BB1C1C,由于三棱錐BACD是正三棱錐,所以CD平面BB1C1C,D,B,B1三點共線,ABBCBD.設ABa,BB1b.則其正視圖和俯視圖的面積都是aba2,側視圖的面積是a2,根據已知解得a,b2.以點B為坐標原點,射線BC,BB1,BA分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖,則A(0,0,),C(,0,0),D(0,0),B1(0,2,0),C1(,2,0),A1(0,2,)(1)由于三棱錐BACD是正三棱錐,該三棱錐的重心G,則BG平面ACD,故可取向量n(1,1,1)為平面ACD的一個法向量,(,2,),故可取v(1,1)為直線CA1的一個方向向量設直線CA1與平面ACD所成角為,則sin|cosn,v|.(2)設m(m,2m,m),則(m,2m2,m),如果B1P平面ACD,則n,即(m,2m2,m)(,),由此得方程組由得m,代入則1,矛盾,這說明不存在滿足題目要求的點P.15解答 方法一:(1)證法一:取CE的中點G,連接FG、BG.F為CD的中點,GFDE且GFDE,AB平面ACD,DE平面ACD,ABDE,GFAB.又ABDE,GFAB.又DE2AB,四邊形GFAB為平行四邊形,則AFBG.AF平面BCE,BG平面BCE,AF平面BCE.證法二:取DE的中點M,連接AM、FM,F為CD的中點,FMCE.AB平面ACD,DE平面ACD,DEAB.又ABDEME,四邊形ABEM為平行四邊形,則AMBE.FM、AM平面BCE,CE、BE平面BCE,FM平面BCE,AM平面BCE.又FMAMM,平面AFM平面BCE.AF平面AFM,AF平面BCE.(2)證明:ACD為等邊三角形,F為CD的中點,AFCD.DE平面ACD,AF平面ACD,DEAF.又CDDED,故AF平面CDE.BGAF,BG平面CDE.BG平面BCE,平面BCE平面CDE.(3)在平面CDE內,過F作FHCE于H,連接BH,平面BCE平面CDE,FH平面BCE.FBH為BF和平面BCE所成的角設ADDE2AB2a,則FHCFsin45a,BF2a,在RtFHB中,sinFBH.直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.方法二:設ADDE2AB2a,建立如圖所示的坐標系Axyz,則A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a)F為CD的中點,F.(1)證明:,(a,a,a),(2a,0,a),(),AF平面BCE,AF平面BCE.(2)證明:,(a,a,0),(0,0,2a),0,0,.平面CDE,又AF平面BCE,平面BCE平面CDE.(3)設平面BCE的法向量為n(x,y,z),由n0,n0可得xyz0,2xz0,取n(1,2)又,設BF和平面BCE所成的角為,則sin.直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.【難點突破】16解答 解法1:過E作ENAC于N,連接EF.(1)如圖,連接NF、AC1,由直棱柱的性質知,底面ABC側面A1C,又底面ABC側面A1CAC,且EN底面ABC,所以EN側面A1C,NF為EF在側面A1C內的射影,在RtCNE中,CNCEcos601,則由,得NFAC1.又AC1A1C,故NFA1C,由三垂線定理知EFA1C.(2)如圖,連接AF,過N作NMAF于M,連接ME,由(1)知EN側面A1C,根據三垂線定理得EMAF,所以EMN是二面角CAFE的平面角,即EMN,設FAC,則045.在RtCNE中,NEECsin60,在RtAMN中,MNANsin3sin,故tan.又045,0sin,故當sin,即當45時,tan達到最小值,tan,此時F與C1重合解法2:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則由已知可得A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E(,3,0),F(0,4,1),于是(0,4,4),(,1,1),則(0,4,4)(,1,1)0440,故EFA1C.(2)設CF(04),平面AEF的一個法向量為m(x,y,z),則由(1)得F(0,4,),(,3,0),(0,4,),于是由m,m可得即取m(,4),又由直三棱柱的性質可取側面A1C的一個法向量為n(1,0,0),于是由為銳角可得cos,sin,所以tan,由04,得,即tan,故當4,即點F與點C1重合時,tan取得最小值.10- 配套講稿:
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- 關 鍵 詞:
- 人教 理科 數學 課時 試題 解析 43 立體幾何 中的 向量 方法 空間 距離 求解
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