隨機過程方兆本引言

單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,應(yīng)用隨機過程,吳述金,辦公室：金統(tǒng)樓,327,1.1,引言,第一章 引 論,定義,1.1,隨機過程,就是一族隨機變量,其中,t,是參數(shù),它屬于某個指標集,T,T,稱為,參數(shù)集,.,一般地,t,表示時間,.,當,T,=0,1,2,時稱隨機過程為,隨機序列,.,對,X,(,t,),可以這樣看,:,隨機變量是定義在空間,上的,所以是隨,t,與,而變化的,.,于是可以記為,X,(,t,).,當固定一次隨機試驗,即取定,0,時,X,(,t,0,),就是一條樣本路徑,.,它是,t,的函數(shù),;,另一方面,固定時間,t,=,t,0,X,(,t,0,),就是一個隨機變量,其取值隨著隨機試驗的結(jié)果而變化,變化有一定的規(guī)律,用概率分布來描述,.,隨機過程在,t,時刻的值稱為過程所處的狀態(tài),狀態(tài)的全體稱為,狀態(tài)空間,.,依照狀態(tài)空間不同可分為,連續(xù)狀態(tài),和,離散狀態(tài),;,依照參數(shù)集,T,當,T,為有限集或可數(shù)集則稱為,離散參數(shù)過程,否則稱為,連續(xù)參數(shù)過程,.,當,T,是高維向量時稱,X,(,t,),為,隨機場,.,例,1.1,英國植物學家,Brown,注意到漂浮在液面上的微小粒子不斷進行不規(guī)則的運動,這種運動叫做,Brown,運動,.,它是一個隨機過程,.,Brown,運動是分子大量隨機碰撞的結(jié)果,.,若記,(,x,t,y,t,),為粒子在平面坐標上的位置,則它是平面上的,Brown,運動,.,例,1.2,若某人在一個直線格子點上,從原點出發(fā)進行行走,規(guī)則如下,:,擲一枚硬幣,若正面向上則前進一個格子,;,若反面向上則后退一個格子,.,以,X,(,t,),表示他在,t,時刻所在的位置,則,X,(,t,),就是一種直線上的,隨機游動,.,-2 -1 0 1 2 3,例,1.3,到達總機交換臺的呼叫次數(shù)為,Poisson,過程,.,每次呼叫是相互獨立的,而間隔時間服從指數(shù)分布,.,交換臺在同一時間只能接通,K,個呼叫,.,人們常要了解在某一時刻的排隊長度以及呼叫的平均等待時間,.,這是一種,排隊模型,.,該模型可以應(yīng)用于對超市、公交車站的管理或服務(wù)研究。,例,1.4,流行病學的研究中有如下模型,:,在時刻,0,時易感人群大小為,X,(0),Y,(0),是已受傳染的人數(shù),.,假定易感人群被傳染的概率為,p,則經(jīng)過一段傳染周期后,(,記為單位時間,),X,(0),中有,X,(1),沒有染上病而,Y,(1),卻受到傳染,.,傳染過程一直蔓延到再沒有人會染上這種流行病時停止,.,于是,且當時 有,X(t),t=1,2,就是以上式為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的,Markov,過程,.,例,1.5,記,X,(,t,),為時刻,t,的商品價格,.,若,X,(,t,),適合線性模型,其中 為實參數(shù),Z,(,t,),為獨立同分布的不可觀測的隨機變量,則,X,(,t,),服從,ARMA,模型,自回歸滑動平均模型,.,這是在經(jīng)濟預(yù)測中十分有用的時間序列模型,.,有限維分布和數(shù)字特征,對于隨機過程,過程的一維,均值函數(shù),為,過程的,方差函數(shù),為,過程的,一維分布,為,過程的,自相關(guān)函數(shù),為,過程的,協(xié)方差函數(shù),為,對于隨機過程,其中隨機變量 與 的關(guān)系有,X,(,t,1,),與,X,(,t,2,),的聯(lián)合分布為,即過程在,t,1,t,2,兩個不同時刻值的,聯(lián)合二維分布,.,自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)性質(zhì),:,1.,對稱性,即對任何,s,t,有,2.,非負定性,即對任何,t,1,t,2,t,n,T,及任意系數(shù),b,1,b,2,b,n,有,對于隨機過程,其,有限維分布族,為,有限維分布的性質(zhì),:,1.,對稱性,2.,相容性,例,1.6,記,X,n,為第,n,次獨立地扔一枚骰子的結(jié)果,則,X,n,n,1,為一隨機過程,.,參數(shù)集,T,為,1,2,而狀態(tài)空間為,1,2,3,4,5,6.,均值函數(shù)為,:,協(xié)方差函數(shù)為,:,任何有限維分布,:,其中,F,(,x,),為,X,1,的分布函數(shù),.,平穩(wěn)過程和獨立增量過程,如果一個隨機向量 與另一個隨機向量 有相同的聯(lián)合分布函數(shù),則稱這兩個隨機向量是,同分布,的,記為,.,定義,1.2,如果隨機過程,X,(,t,),對任意的,t,1,t,n,T,和任何,h,有,則稱,X,(,t,),為,嚴格平穩(wěn)的,.,定義,1.3,如果隨機過程,X,(,t,),的所有二階矩存在,并且,E,X,(,t,)=,m,及協(xié)方差函數(shù),R,X,(,t,s,),只與時間差,t,-,s,有關(guān),則稱,X,(,t,),為,寬平穩(wěn)的,或,二階矩平穩(wěn)的,.,對于寬平穩(wěn)過程,由于對,-,s,t+,R,X,(,t,s,)=,R,X,(0,t,-,s,),所以可以記之為,R,X,(,t,-,s,).,顯然對所有,t,R,X,(,t,)=,R,X,(-,t,),即為偶函數(shù),.,定義,1.4,對任意的,t,1,t,2,t,n,且,t,1,t,n,T,如果隨機變量,X,(,t,2,)-,X,(,t,1,),X,(,t,3,)-,X,(,t,2,),X,(,t,n,)-,X,(,t,n-1,),是相互獨立的,則稱,X,(,t,),為,獨立增量過程,.,如果進一步有對任意的,t,1,t,2,則稱,X,(,t,),為,平穩(wěn)獨立增量過程,.,例,1.7,設(shè),Z,i,i,=0,1,2,是一串獨立同分布的隨機變量,定義,則,X,n,n,0,就是獨立增量過程,.,一般稱,X,n,為,獨立和,.,練習,:,證明平穩(wěn)獨立增量過程的均值函數(shù)一定是,t,的線性函數(shù),.,證明提示,:,1.,2.,3.,4.,課外作業(yè)：,1.Page 11 Ex1,2.Page 12 Ex2,，,3,，,4,