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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,應(yīng)用隨機(jī)過程,吳述金,辦公室：金統(tǒng)樓,327,1.1,引言,第一章 引 論,定義,1.1,隨機(jī)過程,就是一族隨機(jī)變量,其中,t,是參數(shù),它屬于某個(gè)指標(biāo)集,T,T,稱為,參數(shù)集,.,一般地,t,表示時(shí)間,.,當(dāng),T,=0,1,2,時(shí)稱隨機(jī)過程為,隨機(jī)序列,.,對(duì),X,(,t,),可以這樣看,:,隨機(jī)變量是定義在空間,上的,所以是隨,t,與,而變化的,.,于是可以記為,X,(,t,).,當(dāng)固定一次隨機(jī)試驗(yàn),即取定,0,時(shí),X,(,t,0,),就是一條樣本路徑,.,它是,t,的函數(shù),;,另一方面,固定時(shí)間,t,=
2、,t,0,X,(,t,0,),就是一個(gè)隨機(jī)變量,其取值隨著隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而變化,變化有一定的規(guī)律,用概率分布來描述,.,隨機(jī)過程在,t,時(shí)刻的值稱為過程所處的狀態(tài),狀態(tài)的全體稱為,狀態(tài)空間,.,依照狀態(tài)空間不同可分為,連續(xù)狀態(tài),和,離散狀態(tài),;,依照參數(shù)集,T,當(dāng),T,為有限集或可數(shù)集則稱為,離散參數(shù)過程,否則稱為,連續(xù)參數(shù)過程,.,當(dāng),T,是高維向量時(shí)稱,X,(,t,),為,隨機(jī)場,.,例,1.1,英國植物學(xué)家,Brown,注意到漂浮在液面上的微小粒子不斷進(jìn)行不規(guī)則的運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)叫做,Brown,運(yùn)動(dòng),.,它是一個(gè)隨機(jī)過程,.,Brown,運(yùn)動(dòng)是分子大量隨機(jī)碰撞的結(jié)果,.,若記,(,x,t
3、,y,t,),為粒子在平面坐標(biāo)上的位置,則它是平面上的,Brown,運(yùn)動(dòng),.,例,1.2,若某人在一個(gè)直線格子點(diǎn)上,從原點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行行走,規(guī)則如下,:,擲一枚硬幣,若正面向上則前進(jìn)一個(gè)格子,;,若反面向上則后退一個(gè)格子,.,以,X,(,t,),表示他在,t,時(shí)刻所在的位置,則,X,(,t,),就是一種直線上的,隨機(jī)游動(dòng),.,-2 -1 0 1 2 3,例,1.3,到達(dá)總機(jī)交換臺(tái)的呼叫次數(shù)為,Poisson,過程,.,每次呼叫是相互獨(dú)立的,而間隔時(shí)間服從指數(shù)分布,.,交換臺(tái)在同一時(shí)間只能接通,K,個(gè)呼叫,.,人們常要了解在某一時(shí)刻的排隊(duì)長度以及呼叫的平均等待時(shí)間,.,這是一種,排隊(duì)模型,.,該模型
4、可以應(yīng)用于對(duì)超市、公交車站的管理或服務(wù)研究。,例,1.4,流行病學(xué)的研究中有如下模型,:,在時(shí)刻,0,時(shí)易感人群大小為,X,(0),Y,(0),是已受傳染的人數(shù),.,假定易感人群被傳染的概率為,p,則經(jīng)過一段傳染周期后,(,記為單位時(shí)間,),X,(0),中有,X,(1),沒有染上病而,Y,(1),卻受到傳染,.,傳染過程一直蔓延到再?zèng)]有人會(huì)染上這種流行病時(shí)停止,.,于是,且當(dāng)時(shí) 有,X(t),t=1,2,就是以上式為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的,Markov,過程,.,例,1.5,記,X,(,t,),為時(shí)刻,t,的商品價(jià)格,.,若,X,(,t,),適合線性模型,其中 為實(shí)參數(shù),Z,(,t,),為獨(dú)立同分布的
5、不可觀測的隨機(jī)變量,則,X,(,t,),服從,ARMA,模型,自回歸滑動(dòng)平均模型,.,這是在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中十分有用的時(shí)間序列模型,.,有限維分布和數(shù)字特征,對(duì)于隨機(jī)過程,過程的一維,均值函數(shù),為,過程的,方差函數(shù),為,過程的,一維分布,為,過程的,自相關(guān)函數(shù),為,過程的,協(xié)方差函數(shù),為,對(duì)于隨機(jī)過程,其中隨機(jī)變量 與 的關(guān)系有,X,(,t,1,),與,X,(,t,2,),的聯(lián)合分布為,即過程在,t,1,t,2,兩個(gè)不同時(shí)刻值的,聯(lián)合二維分布,.,自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)性質(zhì),:,1.,對(duì)稱性,即對(duì)任何,s,t,有,2.,非負(fù)定性,即對(duì)任何,t,1,t,2,t,n,T,及任意系數(shù),b,1,b,2,b,
6、n,有,對(duì)于隨機(jī)過程,其,有限維分布族,為,有限維分布的性質(zhì),:,1.,對(duì)稱性,2.,相容性,例,1.6,記,X,n,為第,n,次獨(dú)立地扔一枚骰子的結(jié)果,則,X,n,n,1,為一隨機(jī)過程,.,參數(shù)集,T,為,1,2,而狀態(tài)空間為,1,2,3,4,5,6.,均值函數(shù)為,:,協(xié)方差函數(shù)為,:,任何有限維分布,:,其中,F,(,x,),為,X,1,的分布函數(shù),.,平穩(wěn)過程和獨(dú)立增量過程,如果一個(gè)隨機(jī)向量 與另一個(gè)隨機(jī)向量 有相同的聯(lián)合分布函數(shù),則稱這兩個(gè)隨機(jī)向量是,同分布,的,記為,.,定義,1.2,如果隨機(jī)過程,X,(,t,),對(duì)任意的,t,1,t,n,T,和任何,h,有,則稱,X,(,t,),為
7、,嚴(yán)格平穩(wěn)的,.,定義,1.3,如果隨機(jī)過程,X,(,t,),的所有二階矩存在,并且,E,X,(,t,)=,m,及協(xié)方差函數(shù),R,X,(,t,s,),只與時(shí)間差,t,-,s,有關(guān),則稱,X,(,t,),為,寬平穩(wěn)的,或,二階矩平穩(wěn)的,.,對(duì)于寬平穩(wěn)過程,由于對(duì),-,s,t+,R,X,(,t,s,)=,R,X,(0,t,-,s,),所以可以記之為,R,X,(,t,-,s,).,顯然對(duì)所有,t,R,X,(,t,)=,R,X,(-,t,),即為偶函數(shù),.,定義,1.4,對(duì)任意的,t,1,t,2,t,n,且,t,1,t,n,T,如果隨機(jī)變量,X,(,t,2,)-,X,(,t,1,),X,(,t,3,)-,X,(,t,2,),X,(,t,n,)-,X,(,t,n-1,),是相互獨(dú)立的,則稱,X,(,t,),為,獨(dú)立增量過程,.,如果進(jìn)一步有對(duì)任意的,t,1,t,2,則稱,X,(,t,),為,平穩(wěn)獨(dú)立增量過程,.,例,1.7,設(shè),Z,i,i,=0,1,2,是一串獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,定義,則,X,n,n,0,就是獨(dú)立增量過程,.,一般稱,X,n,為,獨(dú)立和,.,練習(xí),:,證明平穩(wěn)獨(dú)立增量過程的均值函數(shù)一定是,t,的線性函數(shù),.,證明提示,:,1.,2.,3.,4.,課外作業(yè)：,1.Page 11 Ex1,2.Page 12 Ex2,，,3,，,4,
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