二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性,1,方陣的特征值與特征向量,2,相似矩陣,3,對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,4,相似矩陣及二次型,二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型,5,正定二次型,6,第五章 相似矩陣及二次型,內(nèi),容,概,要,第五章 相似矩陣及二次型,二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型,5.5,教學(xué)要求,1.,掌握二次型及其有關(guān),概念,掌握,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型,的,兩種方法,正交變換法,、,配方法,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,引,例,對(duì)于一般的二次曲線,，只要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換,就可將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)型,（二次齊次式，只含平方項(xiàng)）,在物理、力學(xué)及工程也有類似的問(wèn)題，且往往是不止含有兩個(gè)變量的二次齊次式，也可通過(guò)適當(dāng)?shù)木€性變換，化為只含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)型。,一 二,次型有關(guān)概念,含有,n,個(gè)變量 的二次齊次多項(xiàng)式,稱為,n,元二次型,。,定義,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,二次型,主要,問(wèn)題,尋找可逆的線性變換,二次型的,標(biāo)準(zhǔn)型,規(guī)范型,作可逆變換,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,一 二,次型有關(guān)概念,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,A,為,對(duì)稱矩陣,一 二,次型有關(guān)概念,（,1,）,A,一定是,對(duì)稱陣,；,（,4,）標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣為,對(duì)角陣,；,（,5,）規(guī)范型的矩陣也是對(duì)角陣,（,2,）,A,的對(duì)角線上的元素 恰為 的系數(shù)，,對(duì)角元,只能,為,1,，,-1,或,0,。,（,3,）,是 的系數(shù)的一半,；,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,一 二,次型有關(guān)概念,稱,實(shí)矩陣,A,為二次型,f,的矩陣,。,f,與,A,可建立,一一對(duì)應(yīng),的關(guān)系,即給了二次型 ，就可以得到實(shí)對(duì)稱矩陣,A,;,反之，給出了一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣,A,，就可寫(xiě)出一個(gè)二次型,f,。,A,的秩就是二次型,f,的秩,。,一 二,次型有關(guān)概念,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,將二次型,寫(xiě)成矩陣形式,課,堂,練,習(xí),答案,，并求出,f,的秩。,練習(xí),5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,二,正,交,變,換,法,前邊提到將,二次型,化,為標(biāo)準(zhǔn)型,的主要問(wèn)題為：,尋找可逆的線性變換,記,得到標(biāo)準(zhǔn)型,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,若,c,為正交矩陣，,在正交變換,下,就可將,f,轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型,二,正,交,變,換,法,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,得到標(biāo)準(zhǔn)型,前邊提到將,二次型,化,為標(biāo)準(zhǔn)型,的主要問(wèn)題為：,尋找可逆的線性變換,因?yàn)閷?shí)二次型的矩陣,A,為實(shí)對(duì)稱方陣，故對(duì),任一個(gè),n,元,實(shí)二次型,，一定可以找到,一個(gè)正交變換,，使得,其中,C,為正交陣,為實(shí)對(duì)稱方陣,A,的,特征值。,其中,如何得到,C,呢,定理,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,C,的列向量是矩陣,A,的兩兩正交的單位向量，,其中第,j,列是,j,對(duì)應(yīng)的特征向量,二,正,交,變,換,法,求正交變換,將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形。,練習(xí),5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,課,堂,練,習(xí),P130,例,14,練習(xí),1,合同的,定義,與,性質(zhì),設(shè),A,和,B,是,n,階矩陣,若有可逆矩陣,C,，使,性質(zhì),，我們稱,A,與,B,（,1,）,當(dāng),C,為正交陣時(shí),，,因而,正交相似變換,也是,合同變換,。,（,2,）,A,與,B,合同,A,，,B,的特征值中,正項(xiàng)個(gè)數(shù)和負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相等,。,定義,合同,。,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,配,方,法,用正交變換法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型，具有保持,向量長(zhǎng)度不變,（設(shè),Q,為,n,階正交陣，,y,=,Q x,則,）,的優(yōu)點(diǎn),。如果不限于用正交變換，還有很多方法，下面用配方法分兩種情形來(lái)討論。,配方法,含有平方項(xiàng),x,i,2,不含有平方項(xiàng),x,i,2,，,只有交叉項(xiàng),x,i,x,j,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,化二次型,成標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣。,解 由于,f,中含變量,x,1,的平方項(xiàng),故把含,x,1,的項(xiàng),歸并,起來(lái)，,配方,可得,不再含,x,1,繼續(xù)配方,，可得,例,1,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,配,方,法,化二次型,令,即,就把,f,化成標(biāo)準(zhǔn)型（規(guī)范型）,所用的變換矩陣為,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,成標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣。,例,1,配,方,法,解 由于,f,中,不含平方項(xiàng),含,x,1,x,2,的乘積項(xiàng)，故令,代入可得,再配方,，得,令,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,配,方,法,成,規(guī)范,型，并求所用的變換矩陣。,化二次型,例,2,令,即,就把,f,化成規(guī)范型,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,配,方,法,成,規(guī)范,型，并求所用的變換矩陣。,化二次型,例,2,因?yàn)?x,=,c,1,y=c,1,c,2,z,故,所用的變換矩陣為,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,配,方,法,成,規(guī)范,型，并求所用的變換矩陣。,化二次型,例,2,小,結(jié),二次型的,標(biāo)準(zhǔn)型,顯然,不是唯一的,，只是標(biāo)準(zhǔn)型中所含的項(xiàng)數(shù)（系數(shù),0,）確定（即是二次型的,秩 。,在限定變換為實(shí)變換時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型中,正系數(shù)的個(gè)數(shù)是不變的,（負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)也不變）。這與選擇的,線性變換無(wú)關(guān),。,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,求一可逆變換,將該二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并求出規(guī)范形。,練習(xí),2,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,課,堂,練,習(xí),練習(xí),2,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,課,堂,練,習(xí),練習(xí),2,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,課,堂,練,習(xí),所用的,可逆變換,為,練習(xí),2,方程,在空間直角坐標(biāo)系下,表示什么曲面,？,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,課,堂,練,習(xí),練習(xí),3,解：由練習(xí),1,（,P130,，例,14,）,的標(biāo)準(zhǔn)型為,故,在空間直角坐標(biāo)系下,表示,單頁(yè)雙,曲面,設(shè)二次型,試求,a,，,b,及,經(jīng)正交變換 化成,，,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,課,堂,練,習(xí),練習(xí),4,經(jīng)正交變換 化成,，,解：二次型,f,正交陣,Q,。,意味著,f,的矩陣,A,的特征值為,0,1,2,慣,性,定,理,設(shè)有,二次型,，它的秩為,r,有兩個(gè),中,正數(shù)的個(gè)數(shù),相等。,慣性定理,可逆變換,及,使,及,則,中正數(shù)的個(gè)數(shù)與,正慣性指數(shù),負(fù)慣性指數(shù),從而負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)也,相等。,設(shè)二次型,f,的,正慣性指數(shù),為,p,秩,為,r,則,f,的,規(guī)范型,可確定為,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,的秩為,正慣性指數(shù)為,負(fù)慣性指數(shù),為,正（負(fù)）慣性指數(shù),等于 矩陣正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)形中正（負(fù)）平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)。,正（負(fù)）特征值的,個(gè)數(shù),與,正（負(fù)）慣性指數(shù),有什么關(guān)系？,2,1,1,思考,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,慣,性,定,理,練習(xí),5,思考,1.,設(shè),經(jīng)正交變換,化為,，求,，,。,想,一,想,解：二次型,f,意味著,f,的矩陣,A,的特征值為,0,1,2,經(jīng)正交變換 化成,，,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,思考,2.,設(shè)二次型,(,b,0),，其中,f,的矩陣,A,的特征值之和為,1,，特征值之積為,12,，,（,1,）求,a,b,的值。,（,2,）用正交變換化,f,為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出所用的正交,變換及對(duì)應(yīng)的正交矩陣。,想,一,想,解：,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,思考,3.,已知 的,秩為,2,，求（,1,）,c,及,A,的特征值,（,2,）,指出,f,=1,表示何種曲面,。,想,一,想,解：,的,秩為,2,，意味著,A,的行列式等于,0,由此求出,c,=3,A,的特征值為,0,4,9,表示橢圓柱面。,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,思考,4.,已知,的秩為,2,，,（,1,）求,a,的值；,（,2,）求正交變換,X,=QY,，把,f,化為標(biāo)準(zhǔn)形,;,（,3,）求,方程,f,(,x,1,x,2,x,3,)=0,的解,。,想,一,想,(3),(1),a,=0,A,的特征值為,0,2,2,解：,5.5,二 次 型 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 型,謝謝,