二次型及其標準型

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,向量的內(nèi)積、長度及正交性,1,方陣的特征值與特征向量,2,相似矩陣,3,對稱矩陣的對角化,4,相似矩陣及二次型,二次型及其標準型,5,正定二次型,6,第五章 相似矩陣及二次型,內(nèi),容,概,要,第五章 相似矩陣及二次型,二次型及其標準型,5.5,教學(xué)要求,1.,掌握二次型及其有關(guān),概念,掌握,化二次型為標準型,的,兩種方法,正交變換法,、,配方法,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,引,例,對于一般的二次曲線,，只要選取適當?shù)淖鴺诵D(zhuǎn)變換,就可將曲線方程化為標準型,（二次齊次式，只含平方項）,在物理、

2、力學(xué)及工程也有類似的問題，且往往是不止含有兩個變量的二次齊次式，也可通過適當?shù)木€性變換，化為只含平方項的標準型。,一 二,次型有關(guān)概念,含有,n,個變量 的二次齊次多項式,稱為,n,元二次型,。,定義,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,二次型,主要,問題,尋找可逆的線性變換,二次型的,標準型,規(guī)范型,作可逆變換,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,一 二,次型有關(guān)概念,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,A,為,對稱矩陣,一 二,次型有關(guān)概念,（,1,）,A,一定是,對稱陣,；,（,4,）標準型的矩陣為,對角陣,；,（,5,）規(guī)范型的矩陣也是對角陣,（,2,）,A,的對角線上的元

3、素 恰為 的系數(shù)，,對角元,只能,為,1,，,-1,或,0,。,（,3,）,是 的系數(shù)的一半,；,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,一 二,次型有關(guān)概念,稱,實矩陣,A,為二次型,f,的矩陣,。,f,與,A,可建立,一一對應(yīng),的關(guān)系,即給了二次型 ，就可以得到實對稱矩陣,A,;,反之，給出了一個實對稱矩陣,A,，就可寫出一個二次型,f,。,A,的秩就是二次型,f,的秩,。,一 二,次型有關(guān)概念,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,將二次型,寫成矩陣形式,課,堂,練,習(xí),答案,，并求出,f,的秩。,練習(xí),5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,二,正,交,變,換,法,前邊提到將,二次型

4、,化,為標準型,的主要問題為：,尋找可逆的線性變換,記,得到標準型,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,若,c,為正交矩陣，,在正交變換,下,就可將,f,轉(zhuǎn)化為標準型,二,正,交,變,換,法,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,得到標準型,前邊提到將,二次型,化,為標準型,的主要問題為：,尋找可逆的線性變換,因為實二次型的矩陣,A,為實對稱方陣，故對,任一個,n,元,實二次型,，一定可以找到,一個正交變換,，使得,其中,C,為正交陣,為實對稱方陣,A,的,特征值。,其中,如何得到,C,呢,定理,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,C,的列向量是矩陣,A,的兩兩正交的單位向量，,其中

5、第,j,列是,j,對應(yīng)的特征向量,二,正,交,變,換,法,求正交變換,將二次型 化為標準形。,練習(xí),5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,課,堂,練,習(xí),P130,例,14,練習(xí),1,合同的,定義,與,性質(zhì),設(shè),A,和,B,是,n,階矩陣,若有可逆矩陣,C,，使,性質(zhì),，我們稱,A,與,B,（,1,）,當,C,為正交陣時,，,因而,正交相似變換,也是,合同變換,。,（,2,）,A,與,B,合同,A,，,B,的特征值中,正項個數(shù)和負項個數(shù)相等,。,定義,合同,。,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,配,方,法,用正交變換法化二次型成標準型，具有保持,向量長度不變,（設(shè),Q,為,n,階正交陣

6、，,y,=,Q x,則,）,的優(yōu)點,。如果不限于用正交變換，還有很多方法，下面用配方法分兩種情形來討論。,配方法,含有平方項,x,i,2,不含有平方項,x,i,2,，,只有交叉項,x,i,x,j,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,化二次型,成標準型，并求所用的變換矩陣。,解 由于,f,中含變量,x,1,的平方項,故把含,x,1,的項,歸并,起來，,配方,可得,不再含,x,1,繼續(xù)配方,，可得,例,1,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,配,方,法,化二次型,令,即,就把,f,化成標準型（規(guī)范型）,所用的變換矩陣為,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,成標準型，并求所用的變換矩陣。

7、,例,1,配,方,法,解 由于,f,中,不含平方項,含,x,1,x,2,的乘積項，故令,代入可得,再配方,，得,令,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,配,方,法,成,規(guī)范,型，并求所用的變換矩陣。,化二次型,例,2,令,即,就把,f,化成規(guī)范型,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,配,方,法,成,規(guī)范,型，并求所用的變換矩陣。,化二次型,例,2,因為,x,=,c,1,y=c,1,c,2,z,故,所用的變換矩陣為,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,配,方,法,成,規(guī)范,型，并求所用的變換矩陣。,化二次型,例,2,小,結(jié),二次型的,標準型,顯然,不是唯一的,，只是標準型中所含的項數(shù)

8、（系數(shù),0,）確定（即是二次型的,秩 。,在限定變換為實變換時，標準型中,正系數(shù)的個數(shù)是不變的,（負系數(shù)的個數(shù)也不變）。這與選擇的,線性變換無關(guān),。,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,求一可逆變換,將該二次型化成標準形，并求出規(guī)范形。,練習(xí),2,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,課,堂,練,習(xí),練習(xí),2,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,課,堂,練,習(xí),練習(xí),2,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,課,堂,練,習(xí),所用的,可逆變換,為,練習(xí),2,方程,在空間直角坐標系下,表示什么曲面,？,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,課,堂,練,習(xí),練習(xí),3,解：由練習(xí),1,（

9、,P130,，例,14,）,的標準型為,故,在空間直角坐標系下,表示,單頁雙,曲面,設(shè)二次型,試求,a,，,b,及,經(jīng)正交變換 化成,，,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,課,堂,練,習(xí),練習(xí),4,經(jīng)正交變換 化成,，,解：二次型,f,正交陣,Q,。,意味著,f,的矩陣,A,的特征值為,0,1,2,慣,性,定,理,設(shè)有,二次型,，它的秩為,r,有兩個,中,正數(shù)的個數(shù),相等。,慣性定理,可逆變換,及,使,及,則,中正數(shù)的個數(shù)與,正慣性指數(shù),負慣性指數(shù),從而負數(shù)的個數(shù)也,相等。,設(shè)二次型,f,的,正慣性指數(shù),為,p,秩,為,r,則,f,的,規(guī)范型,可確定為,5.5,二 次 型 及 其 標 準

10、 型,的秩為,正慣性指數(shù)為,負慣性指數(shù),為,正（負）慣性指數(shù),等于 矩陣正（負）特征值的個數(shù)，即標準形中正（負）平方項的個數(shù)。,正（負）特征值的,個數(shù),與,正（負）慣性指數(shù),有什么關(guān)系？,2,1,1,思考,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,慣,性,定,理,練習(xí),5,思考,1.,設(shè),經(jīng)正交變換,化為,，求,，,。,想,一,想,解：二次型,f,意味著,f,的矩陣,A,的特征值為,0,1,2,經(jīng)正交變換 化成,，,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,思考,2.,設(shè)二次型,(,b,0),，其中,f,的矩陣,A,的特征值之和為,1,，特征值之積為,12,，,（,1,）求,a,b,的值。,（,2

11、,）用正交變換化,f,為標準型，并寫出所用的正交,變換及對應(yīng)的正交矩陣。,想,一,想,解：,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,思考,3.,已知 的,秩為,2,，求（,1,）,c,及,A,的特征值,（,2,）,指出,f,=1,表示何種曲面,。,想,一,想,解：,的,秩為,2,，意味著,A,的行列式等于,0,由此求出,c,=3,A,的特征值為,0,4,9,表示橢圓柱面。,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,思考,4.,已知,的秩為,2,，,（,1,）求,a,的值；,（,2,）求正交變換,X,=QY,，把,f,化為標準形,;,（,3,）求,方程,f,(,x,1,x,2,x,3,)=0,的解,。,想,一,想,(3),(1),a,=0,A,的特征值為,0,2,2,解：,5.5,二 次 型 及 其 標 準 型,謝謝,