2022-2023學(xué)年廣東省廣州市高一年級下冊學(xué)期第16周周練數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、 單選題:1設(shè)，則（    ）A，B，C，D，2某社區(qū)衛(wèi)生室為了了解該社區(qū)居民的身體健康狀況，對該社區(qū)1100名男性居民和900名女性居民按性別采用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取了一個(gè)容量為100的樣本，則應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為（    ）A45B50C55D603工人師傅在檢測椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（    ）A兩條相交直線確定一個(gè)平面B兩條平行直線確定一個(gè)平面C四點(diǎn)確定一個(gè)平面D直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面4在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，若，則（    ）ABCD5已知平面，且，則直線a，b的關(guān)系為（    ）A一定平行B一定異面C不可能相交D相交、平行或異面都有可能6已知向量，點(diǎn)，記為在向量上的投影向量，若，則（    ）ABCD7由下列條件解，其中有兩解的是（    ）ABCD8已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（    ）ABCD二、多選題：9一組數(shù)據(jù)6，7，8，a，12的平均數(shù)為8，則此組數(shù)據(jù)的（    ）A眾數(shù)為7B極差為6C中位數(shù)為8D方差為10如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，有下列判斷，其中正確的是（    ）A平面平面B平面C異面直線與所成角的取值范圍是D三棱錐的體積不變11有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中(為非零常數(shù)，則（    ）A兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同12如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐，的體積分別為，則（    ）ABCD三、填空題：13已知向量的夾角為45°，且，若，則_14若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為_.15將函數(shù)的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，則所得的圖像的函數(shù)表達(dá)式為_.16下列命題中正確的命題為_.若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點(diǎn)共線；若三條直線互相平行且分別交直線于三點(diǎn)，則這四條直線共面；若直線異面，異面，則異面；若，則.四、 解答題：17某地統(tǒng)計(jì)局就該地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在.(1)求居民月收入在的頻率；(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？.18設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且.(1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，若向量與平行，求實(shí)數(shù)k的值.19如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)點(diǎn)在棱上，滿足且三棱錐的體積為，求的值.20如圖，在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面.(1)證明：平面(2)求證：平面平面(3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值.參考答案：1A【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的相等可直接求得結(jié)果.【詳解】由得：，.故選：A.2C【分析】根據(jù)分層抽樣的規(guī)則運(yùn)算即可.【詳解】應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為；故選：C.3A【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】解：由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面”.故選：A4D【分析】根據(jù)條件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解.【詳解】由正弦定理：得又因?yàn)?，所以令所以故選：D.5C【分析】根據(jù)空間線面間的位置關(guān)系判斷【詳解】由平面，且，可知直線a，b沒有公共點(diǎn)，故它們一定不相交，即可能是平行或異面故選：C6B【分析】根據(jù)投影向量的定義求解【詳解】由已知，在向量上的投影向量為，所以，故選：B7C【分析】只有是已知兩邊及一邊的對角，且已知角為銳角才可能出現(xiàn)兩解，此時(shí)先求另一邊所對的角，再結(jié)合邊角關(guān)系來判斷解的個(gè)數(shù)【詳解】對于A，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解,所以只有唯一解，所以A錯(cuò)誤；對于B，由余弦定理可知只有唯一解，由余弦定理可得,又且在上單調(diào)遞減，所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，所以只有唯一解，所以B錯(cuò)誤；對于C，由正弦定理可得,所以,由可知，因此滿足的有兩個(gè)，所以有兩解，所以C正確；對于D.由余弦定理可知只有唯一解，由余弦定理可得,又且在上單調(diào)遞減,所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，所以只有唯一解,所以D錯(cuò)誤故選：C8C【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】方法一：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.故選：C方法二：統(tǒng)一變量基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.故選：C方法三：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，令，設(shè)，則，單調(diào)遞增， ，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)故選：C.【點(diǎn)評】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法9ABD【分析】由平均數(shù)定義求得參數(shù)，然后再由眾數(shù)、極差、中位數(shù)、方差的定義求解【詳解】由題意，因此眾數(shù)是7，極差是，5 個(gè)數(shù)從小到大排列為，中位數(shù)是7，方差為，故選：ABD10ABD【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷；對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷；對于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可；對于D，先利用線線平行得到點(diǎn)到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷.【詳解】對于A，連接，如圖，因?yàn)樵谡襟w中，平面，又平面，所以，因?yàn)樵谡叫沃?，又與為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)榕c為平面內(nèi)兩條相交直線，可得平面，又平面，從而平面平面，故A正確；.  對于B，連接，如圖，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面?nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以與所成角即為與所成的角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，?dāng)與線段的兩端點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最小值；當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最大值；所以與所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)B得平面，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，即點(diǎn)到面平面的距離不變，不妨設(shè)為，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化嚴(yán)密推理.11CD【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD12CD【分析】找到三棱錐的高，利用三棱錐體積公式分別求出，進(jìn)而判斷出結(jié)果.【詳解】如圖連接交于O，連接.設(shè)，則.由平面，所以平面，所以，.由平面，平面，所以.又，且，平面，所以平面，所以.易知，所以，所以,而，平面，所以平面.又，所以有，所以選項(xiàng)AB不正確，CD正確.故選：CD.13【分析】根據(jù)已知條件求得，再由向量垂直數(shù)量積為0，即可求出得答案【詳解】向量，的夾角為，且，可得，可得：，.故答案為：.14-2【分析】將化成的形式即可.【詳解】解：由題得.所以z的虛部為.故答案為：-2.15【分析】直接利用三角函數(shù)圖象的變換知識求解.【詳解】解：將函數(shù)的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，則所得的圖像的函數(shù)表達(dá)式為.故答案為：16【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線和共面的性質(zhì)、異面直線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于，設(shè)平面平面，因?yàn)?，所以平面，所以，同理，故三點(diǎn)共線，正確；對于，因?yàn)椋钥梢源_定一個(gè)平面，因?yàn)樗?，所以，又，所以，因?yàn)?，所以或，又，所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以正確；對于，直線異面，異面，但是平行，所以錯(cuò)誤，如下右圖；對于，但，所以錯(cuò)誤，如下左圖.故正確的命題為.故答案為：17(1)0.15(2)2400元(3)25人【分析】（1）根據(jù)圖中所對應(yīng)的頻率/組距的值，乘上組距，即可得到月收入在的頻率.（2）通過比較幾個(gè)區(qū)間的頻率之和與0.5的關(guān)系，判斷出中位數(shù)所在區(qū)間，進(jìn)而求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).（3）根據(jù)表格先居民月收入在的頻率，接著計(jì)算10000人中月收入在的人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣抽出100人，計(jì)算得出月收入在的這段應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】（1）月收入在的頻率為：居民月收入在的頻率為0.15.（2），樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2400元.（3）居民月收入在的頻率為：，10000人中月收入在的人數(shù)為：，再從10000人中分層抽樣方法抽出100人，則月收入在的這段應(yīng)抽取：，月收入在的這段應(yīng)抽25人.18(1)；(2).【分析】（1）求出向量坐標(biāo)，再利用相等向量列出方程組，求解作答.（2）求出的坐標(biāo)，再利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及共線向量的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋谑?，整理得，即有，解得，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄颗c平行，因此，解得，所以實(shí)數(shù)k的值為.19(1)證明見解析.(2).【分析】（1）連接，證明，繼而證明平面，推得，從而證明平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）由題意可推得，從而設(shè)點(diǎn)到平面的距離分別為，利用三棱錐等體積法分別求得，根據(jù)，即可求得答案.【詳解】（1）由題意底面， ,，則底面為直角梯形，連接 ，則,故四邊形為矩形，則 ， 所以四邊形為正方形，所以 ，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，O是 的中點(diǎn)，所以 ，平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面.（2）因?yàn)榈酌嬷校?,，側(cè)面 為等邊三角形，O是的中點(diǎn)，所以, ，因?yàn)槠矫妫矫?，所?，所以 ，因?yàn)?，所以,所以 ,設(shè)點(diǎn)到平面的距離分別為，因?yàn)?，所以 ,即，故，因?yàn)槿忮F的體積為，所以 所以 ，解得，所以，即因?yàn)?，所?.20(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，則，利用線面平行的判定定理即可得證；（2）由已知可得，由線面垂直的判定定理可得面，進(jìn)而即可證得結(jié)論；（3）由平面可得，作于，可知面，所以為直線與平面所成角，在直角中求解即可【詳解】（1）且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，所以平面.（2）平面，平面，連接，且，四邊形為平行四邊形，平行四邊形為正方形，又，又，面，面，面，平面平面.（3）平面，平面，又，平面，平面，因?yàn)槠矫?，為二面角的平面角，從而，所以，作于，連接，平面平面，平面，平面平面，面，所以為直線與平面所成角，在直角中，因?yàn)槊?，面，所以，在直角中，則直線與平面所成角的正切值為.