《線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性（49頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,目錄(1/1),目 錄,概述,4.1,線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性,4.2,線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性,4.3,線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性,4.4,對偶性原理,4.5,線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解和零極點相消,4.6,能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形,4.7,實現(xiàn)問題,4.8 Matlab,問題,本章小結(jié),線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性(1/2),4.2,線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性,本節(jié)主要討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性問題。,關(guān)鍵問題,:,1. 基本概念,:,狀態(tài)能觀性,2. 基本方法,:,狀態(tài)能觀性的判別方法,3. 狀態(tài)能觀性的物理意義和在狀
2、態(tài)空間中的幾何意義,線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性(2/2),本節(jié)首先從物理直觀性來討論狀態(tài)能觀性的基本含義,然后再引出狀態(tài)能觀性的定義。,下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對于理解能觀性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。,本節(jié)講授順序為,:,能觀性的直觀討論,狀態(tài)能觀性的定義,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù),能觀性的直觀討論,(1,/14),4.2.1,能觀性的直觀討論,狀態(tài)能觀性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測量的輸出,y,(,t,),和輸入,u,(,t,),來確定或識別系統(tǒng)狀態(tài)的能力。,如果系統(tǒng)的任何內(nèi)部運動狀態(tài)變化都可由系統(tǒng)的外部輸出和輸入唯一地確定,那么稱系統(tǒng)是能觀的,或者更確切地說,是狀態(tài)能觀的。,
3、否則,就稱系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能觀的。,下面通過幾個例子來說明能觀性的意義。,能觀性的直觀討論,(2,/14),例,考慮,右圖所示的,電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由輸出變量的值確定狀態(tài)變量值的能力問題。,當(dāng)電阻,R,1,=,R,2,電感,L,1,=,L,2,輸入電壓,u,(,t,)=0,以及,兩個狀態(tài)變量的初始狀態(tài),x,1,(,t,0,)=,x,2,(,t,0,),且為任意值時,必定有,i,3,(,t,)=0,即輸出變量,y,(,t,),恒為零。,因此,由恒為零的輸出,y,(,t,),顯然不能確定通過兩個電感的電流值,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),即由輸出,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(
4、,t,),和,x,2,(,t,),的值。,該電網(wǎng)絡(luò)模型中,u,(,t,),為輸入電壓,y,(,t,),=,i,3,(,t,),為輸出變量,通過兩電感的電流,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),分別為狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)。,圖,4-4,電網(wǎng)絡(luò),能觀性的直觀討論,(3,/14),但當(dāng)電阻,R,1,R,2,或電感,L,1,L,2,時,則上述由輸出,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值的特性可能不成立。,這種能由輸出變量值確定狀態(tài)變,量值的特性稱為狀態(tài)能觀,若由輸出變量值不能唯一確定出狀態(tài)變量值的特性則稱為狀態(tài)不能觀
5、。,能觀性的直觀討論,(,4/14),從狀態(tài)空間模型上看，,當(dāng)選擇,兩電感的電流,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),分別為狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)時，狀態(tài)空間模型為,能觀性的直觀討論,(,5/14),當(dāng)電路中電阻值,R,1,=,R,2,=,R,電感值,L,1,=,L,2,=,L,時,若輸入電壓,u,(,t,),突然短路,即,u,(,t,)=0,則狀態(tài)方程為,顯然,當(dāng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)為,x,1,(,t,0,)=,x,2,(,t,0,),且為任意值時,上述狀態(tài)方程的解必有,x,1,(,t,)=,x,2,(,t,),故有,y,(,t,)=,i,3,(,t,)=
6、0,即輸出變量,y,(,t,),恒為零。,因此,由觀測到的恒為零的輸出變量,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值,即由輸出,i,3,(,t,),不能確定通過兩個電感的電流值,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),。,能觀性的直觀討論,(,6/14),但當(dāng)電路中電阻值,R,1,R,2,或電感值,L,1,L,2,時,則上述由輸出,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值的特性可能不成立。,這種由可測量的輸出變量的值能惟一確定狀態(tài)變量的值的特性稱為狀態(tài)能觀,若不能惟一確定則稱為狀態(tài)不能觀。,能觀性的直觀討論
7、,(,7/14),補充例,1,右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)中,電源電壓,u,(,t,),為輸入,電壓,y,(,t,),為輸出,并分別取電容電壓,u,C,(,t,),和電感電流,i,L,(,t,),為狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)。,因此,由輸出變量,y,(,t,),顯然不能確定電壓值,u,C,(,t,),即由輸出,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),的值。,故,該電網(wǎng)絡(luò)在開關(guān),K,斷開后,是狀態(tài)不能觀的。,當(dāng)開關(guān),K,在,t,0,時刻斷開后,顯然電容,C,和電阻,R,1,構(gòu)成一階衰減電路,電容電壓,u,C,(,t,),的變化只與初始狀態(tài),u,C,(,t,0,),有關(guān)
8、,與衰減電路外其他信號無關(guān)。,能觀性的直觀討論,(,8/14),例,考慮間歇化學(xué)反應(yīng)器的由輸出變量的值確定狀態(tài)變量的值的能力問題。,設(shè)間歇化學(xué)反應(yīng)器內(nèi)進行如下常見的化學(xué)反應(yīng),式中，,k,1,和,k,2,為反應(yīng)速率常數(shù)。,上述化學(xué)反應(yīng)式可代表一大類化工操作,通常希望中間產(chǎn)物,B,的產(chǎn)量盡可能大,副產(chǎn)品,C,盡可能小,因而要求防止后面的反應(yīng)繼續(xù)進行下去。,能觀性的直觀討論,(,9/14),設(shè)上述化學(xué)反應(yīng)式中的第,1,步反應(yīng)是二級反應(yīng),第,2,步反應(yīng)是一級反應(yīng)。,這樣,可得如下間歇化學(xué)反應(yīng)器內(nèi)的物料平衡方程,(,狀態(tài)方程,),和輸出方程,式中，,C,1,(,t,),、,C,2,(,t,),和,C,3
9、,(,t,),分別是,A,、,B,和,C,的濃度。,能觀性的直觀討論,(,10/14),由上述物料平衡的動態(tài)方程可知,副產(chǎn)品,C,的濃度,C,3,(,t,),的值不僅決定于產(chǎn)品,B,的濃度,C,2,(,t,),而且還決定于,C,3,(,t,),在初始時刻,t,0,的值,C,3,(,t,0,),。,因此,若在生產(chǎn)過程中,能直接檢測到的輸出量為產(chǎn)品,B,的濃度,C,2,(,t,),則副產(chǎn)品,C,的濃度,C,3,(,t,),的值是不可知的,即為不能觀的。,若選擇,C,1,(,t,),C,2,(,t,),和,C,3,(,t,),為狀態(tài)變量,則上述化學(xué)反應(yīng)過程為狀態(tài)不完全能觀的。,上面用實際系統(tǒng)初步說明
10、了能控性的基本含義,能控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個例子說明。,能觀性的直觀討論,(,11/14),補充例,給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為,本例中,輸出變量,y,(,t,),即為狀態(tài)變量,x,1,(,t,)。,因此,由,y,(,t,),的測量值可直接得到,x,1,(,t,),的值,即狀態(tài)變量,x,1,(,t,),可由輸出唯一確定。,1/s,-2,-2,1/s,能觀性的直觀討論,(,12/14),而由狀態(tài)變量,x,2,(,t,),所滿足的狀態(tài)方程及其運動狀態(tài)的解可知,x,2,(,t,),的運動軌跡由,x,2,(,t,),的初始狀態(tài),x,2,(,t,0,),x,1,(,t,),和
11、輸入,u,(t),三者共同決定。,因此,由測量到的輸出,y,(,t,),和輸入,u,(t),并不能唯一確定出狀態(tài)變量,x,2,(,t,),的值,即狀態(tài),x,2,(,t,),是狀態(tài)不能觀的。,因此,整個系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能觀的。,能觀性的直觀討論,(,13/14),補充例,給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,由狀態(tài)方程可知,:,狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),可分別由初始狀態(tài),x,1,(,t,0,),和,x,2,(,t,0,),唯一決定,并可表示為,x,i,(,t,)=e,-,t,x,i,(0),i,=1,2,能觀性的直觀討論,(,14/14),因此,輸出變量,y,(,t,),可表示
12、為,y,(,t,)=e,-,t,x,1,(0),+,x,2,(0),由,y,(,t,),的解可知,由,y,(,t,),并不能唯一地分別確定初始狀態(tài),x,1,(,t,0,),和,x,2,(,t,0,),進而唯一地確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),即,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),是狀態(tài)不能觀的,整個系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能觀的。,前面幾個例子,可通過直觀分析來討論系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,但對維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),直觀判斷能觀性是困難的。,下面將通過給出狀態(tài)能觀性的嚴(yán)格定義,來導(dǎo)出判定狀態(tài)能觀性的充要條件。,狀態(tài)能觀性的定義,(1/6),4.2.2,狀態(tài)能觀性的定義,
13、對線性系統(tǒng)而言,狀態(tài)能觀性只與系統(tǒng)的輸出,y,(,t,),以及系統(tǒng)矩陣,A,和輸出矩陣,C,有關(guān),與系統(tǒng)的輸入,u,(,t,),和輸入矩陣,B,無關(guān),即討論狀態(tài)能觀性時,只需考慮系統(tǒng)的自由運動即可。,上述結(jié)論可證明如下,:,對線性定常系統(tǒng),(,A,B,C,),其狀態(tài)和輸出的解分別為,簡單否?,狀態(tài)能觀性的定義,(2/6),因為矩陣,A,B,C,和,輸入,u,(,t,)均,已知,故上式的右邊第二項可以計算出來,也是已知項。故可以定義如下輔助輸出,:,研究狀態(tài)能觀性問題,即為上式對任意的初始狀態(tài),x,(,t,0,),能否由輔助輸出,y,-,(,t,),來唯一確定的問題。,所以線性系統(tǒng)狀態(tài)能觀性僅與
14、輸出,y,(,t,),以及系統(tǒng)矩陣,A,和輸出矩陣,C,有關(guān),與輸入矩陣,B,和輸入,u,(,t,),無關(guān)。,也就是說,分析線性系統(tǒng)的能觀性時,只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。,因此,我們有如下線性系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的定義。,對線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下狀態(tài)能觀性定義。,狀態(tài)能觀性的定義,(3/6)能觀性定義,定義,4-3,若線性連續(xù)系統(tǒng),對初始時刻,t,0,(,t,0,T,T,為時間定義域)和初始狀態(tài),x,(,t,0,),存在另一有限時刻,t,1,(,t,1,t,0,t,1,T,),根據(jù)在有限時間區(qū)間,t,0,t,1,內(nèi)量測到的輸出,y,(,t,),能夠唯一地確定系統(tǒng)在,t,0,時刻的初始狀態(tài)
15、,x,(,t,0,),則稱在,t,0,時刻的狀態(tài),x,(,t,0,),能觀;,若對,t,0,時刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀,則稱系統(tǒng)在,t,0,時刻狀態(tài)完全能觀;,狀態(tài)能觀性的定義,(4/6)能觀性定義,若系統(tǒng)在所有時刻狀態(tài)完全能觀,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀,簡稱為系統(tǒng)能觀。,即,若邏輯關(guān)系式,為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。,若存在某個狀態(tài),x,(,t,0,),不滿足上述條件,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的,簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能觀。 ,狀態(tài)能觀性的定義,(5/6),對上述狀態(tài)能觀性的定義有如下注記。,1.,對于線性定常系統(tǒng),由于系統(tǒng)矩陣,A,(,t,),和輸出矩陣,C,(,t,),都為常數(shù)矩陣,與時間無
16、關(guān),因此不必在定義中強調(diào)“在所有時刻狀態(tài)完全能觀”,而為“某一時刻狀態(tài)完全能觀,則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀”。,即,若邏輯關(guān)系式,為真,則稱線性定常連續(xù)系統(tǒng),(,A,C,),狀態(tài)完全能觀。,狀態(tài)能觀性的定義,(6/6),2.,上述定義中的輸出觀測時間為,t,0,t,1,并要求,t,0,t,0,。,這是因為,輸出變量,y,(,t,),的維數(shù),m,一般總是小于狀態(tài)變量,x,(,t,),的維數(shù),n,。,否則,若,m,=,n,且輸出矩陣,C,(,t,),可逆,則,x,(,t,)=,C,-1,(,t,),y,(,t,),即狀態(tài)變量,x,(,t,)可直接由輸出,y,(,t,)確定,。由于,m,n,為了能唯一地求出
17、狀態(tài)變量的值,不得不依靠在一定區(qū)間內(nèi)測量得的連續(xù)(或有限幾組)輸出值以確定系統(tǒng)狀態(tài)。,3.,在定義中把能觀性定義為對初始狀態(tài)的確定,這是因為,一旦確定初始狀態(tài),便可根據(jù)狀態(tài)方程的解表達式,由初始狀態(tài)和輸入,計算出系統(tǒng)各時刻的狀態(tài)值。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù),(1/1),4.2.3,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù),線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù)有許多不同形式,下面分別討論,代數(shù)判據(jù),和,模態(tài)判據(jù),。,代數(shù)判據(jù),(1/13),1.,代數(shù)判據(jù),定理,4-7,(,線性定常離散系統(tǒng)能控性秩判據(jù),),線性定常連續(xù)系統(tǒng),(,A,C,),狀態(tài)完全能觀的充要條件為下述條件之一成立,:,1.,矩陣函
18、數(shù),C,e,At,的各列函數(shù)線性獨立,即不存在非零常數(shù)向量,f,R,n,使得,C,e,At,f,0,2.,如下定義的能觀性矩陣,滿秩,即,rank,Qo,=,n,比較一下能控性矩陣,代數(shù)判據(jù),(2/13)-代數(shù)判據(jù)定理證明,rank,Q,o,=,n,證明,對于線性定常系統(tǒng),由能觀性定義可知,其狀態(tài)能觀性與初始時刻無關(guān)。,因此,不失一般性,可設(shè)初始時刻,t,0,為0。,根據(jù)第,3,章中輸出方程解的表達式,有,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),由能觀性的定義可知,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)是否完全能觀,等價于上述方程是否有,x,(0),的唯一解問題。,下面將利用上述方程分別證明判別狀態(tài)能觀性
19、的上述兩個充要條件。,代數(shù)判據(jù),(3/13),(1) 證明條件1。 先證充分性(條件,結(jié)論)。,即證明,若,C,e,At,的各列函數(shù)線性獨立,則系統(tǒng)狀態(tài)能觀,。,用反證法證明,:,設(shè)狀態(tài)不能觀,但,C,e,At,的各列函數(shù)線性獨立。,充分性反證法證明的思路,狀態(tài)不能觀,存在兩個不同的初始狀態(tài),x,1,(0),和,x,2,(0)所,對應(yīng)的輸出完全一致,由輸出的解的表達可得,:,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),與假設(shè)矛盾,充分性得證,證明過程,:,代數(shù)判據(jù),(4/13),狀態(tài)不能觀,則意味著存在某一初始狀態(tài),x,(0),由,有限時間區(qū)間,t,0,t,1,內(nèi),觀測到的輸出,y,(,t,),由方程,
20、y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),得不到,x,(0),的唯一解。,設(shè),x,1,(0),和,x,2,(0),分別是由方程,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),確定出的兩個不同初始狀態(tài),即,x,1,(0),和,x,2,(0),分別滿足,y,(,t,)=,C,e,At,x,1,(0),t,0,y,(,t,)=,C,e,At,x,2,(0),t,0,將上述兩式相減,可得,0,=,C,e,At,x,1,(0)-,x,2,(0),t,0,而,x,1,(0)-,x,2,(0),為非零向量,因此上式恒成立的條件為,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)。這與前面的推論產(chǎn)生矛盾,故原假定系統(tǒng)狀態(tài)不能
21、觀,但,C,e,At,的各列函數(shù)線性獨立是不成立的。,代數(shù)判據(jù),(5/13),因此,充分性得證。,再證必要性(結(jié)論,條件)。,即證明,若系統(tǒng)狀態(tài)能觀,則,C,e,At,的各列函數(shù)線性獨立。,用反證法證明,。,設(shè),C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),但狀態(tài)能觀。,必要性的反證法證明思路,:,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),存在某非零初始狀態(tài),f,與零初始狀態(tài)的輸出均為0,由0輸出不能確定初始狀態(tài)是為零或者為,f,狀態(tài)不完全能觀,與假設(shè)矛盾,必要性得證,代數(shù)判據(jù),(6/13),證明過程,:,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),即存在非零向量,f,R,n,使得,C,e,At,f,0,因此,若,x,(0
22、)=,f,則有,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0)=0,t,0,而當(dāng),x,(0)=0,時,系統(tǒng)輸出亦恒為零。因此,當(dāng)系統(tǒng)輸出恒為零時,由方程,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),不能確定出初始狀態(tài),x,(0)=,f,或0,即有部分狀態(tài)不能觀。這與前面的假設(shè)矛盾,故原假定,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),但狀態(tài)能觀是不成立的。,因此,必要性得證。,代數(shù)判據(jù),(7/13),(2) 下面通過證明,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)等價于能觀性矩陣,Q,o,非滿秩來證明定理中的條件(2)。即證明,(結(jié)論,A),若,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),則能觀性矩陣,Q,o,非滿秩,以及,(
23、結(jié)論,B),若能觀性矩陣,Q,o,非滿秩,則,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),。,下面分別加以證明。,代數(shù)判據(jù),(8/13),先證結(jié)論,A,。,即需證明,:,若,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),則能觀性矩陣,Q,o,非滿秩。,若,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),則存在非零向量,f,使得,C,e,At,f,0,由于,C,e,At,連續(xù)并有無窮階導(dǎo)數(shù),因此,若上式對任意時間,t,恒成立,則對該方程的兩邊求任意階導(dǎo)數(shù)方程依然成立,即,CA,e,At,f,0,CA,2,e,At,f,0,CA,n,-1,e,At,f,0,代數(shù)判據(jù),(9/13),令上述兩式的,t,=0,則有,因此,若,C,e,At
24、,的各列函數(shù)線性相關(guān),則能觀性矩陣,Q,o,非滿秩,即,結(jié)論,A,成立。,代數(shù)判據(jù),(10/13),再證結(jié)論,B,。,即需證明,:,若則能觀性矩陣,Q,o,非滿秩,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)。,若能觀性矩陣,Q,o,非滿秩,即式(,4-26),式成立,則存在非零向量,f,使得,成立。由凱萊-哈密頓定理,有,代數(shù)判據(jù),(11/13),因此有,即,若能觀性矩陣,Q,o,非滿秩,則,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)。因此,結(jié)論,B,得證。,綜合上述過程,則證明了,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)等價于能觀性矩陣,Q,o,非滿秩。,故由定理的條件(1)可知,能觀性矩陣,Q,o,滿秩亦為線性定常連
25、續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀的充要條件。,代數(shù)判據(jù),(12/13),定理,4-7,給出的是線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀性充要的兩個判據(jù),可直接用于能觀性判定。,由于檢驗,C,e,At,的各列是否函數(shù)線性獨立相對困難一些,因此實際應(yīng)用中通常用定理,4-7,的條件(2)。,條件(2)我們亦稱為線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)。,代數(shù)判據(jù),(13/13)例,7,例,4-7,試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,解,由狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)有,而系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù),n,=2,所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,模態(tài)判據(jù)(1,/12),2.,模態(tài)判據(jù),在給出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)之前,先討論狀態(tài)能觀性的如下性質(zhì),:,線性定
26、常系統(tǒng)經(jīng)線性變換后狀態(tài)能觀性保持不變,。,下面對該結(jié)論作簡單證明。設(shè)線性變換陣為,P,則系統(tǒng),(,A,C,),經(jīng)線性變換 后為,并有,模態(tài)判據(jù)(2,/12),因此系統(tǒng),的狀態(tài)能觀性等價于,(,A,C,),的狀態(tài)能觀性,即線性變換不改變狀態(tài)能觀性。,基于上述結(jié)論,可利用線性變換將一般狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,(,對角線規(guī)范形為其特例,),通過分析約旦規(guī)范形的能觀性來分析原狀態(tài)空間模型的能觀性。,下面討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)約旦規(guī)范形的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)。,2.模態(tài)判據(jù)(3,/12),定理,4-8,對為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng),(,A,C,),有,:,1.,若,A,為每個特征值都只有一個約旦塊
27、的約旦矩陣,則系統(tǒng)能觀的充要條件為,對應(yīng),A,的每個約旦塊的,C,的分塊的第一列都不全為零,;,2.,若,A,為某個特征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能觀的充要條件為,對應(yīng),A,的每個特征值的所有約旦塊的,C,的分塊的第一列線性無關(guān),。,2.模態(tài)判據(jù)(4,/12),定理,4-8,的證明可直接由定理,4-7,而得。,對定理,4-8,作兩點說明,:,狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)討論的是約旦規(guī)范形。,若系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為約旦規(guī)范形,則可根據(jù)線性變換不改變狀態(tài)能觀性的性質(zhì),先將狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,然后再利用定理,4-8,來判別狀態(tài)能觀性;,定理,4-8,不僅可判別出狀態(tài)能觀性,而且更進一步地
28、指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點)和哪一狀態(tài)不能觀。,這對于進行系統(tǒng)分析、狀態(tài)觀測器和反饋校正是非常有幫助的。,2.模態(tài)判據(jù)(5,/12),例,8,例,4-8,試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。,解,由定理,4-8,可知,A,為特征值互異的對角線矩陣,但,C,中的第2列全為零,故該系統(tǒng)的狀態(tài),x,2,不能觀,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,狀態(tài)空間,x,1,-x,2,不完全能觀,狀態(tài)變量,x,1,完全能觀,狀態(tài)變量,x,2,完全不能觀,模態(tài)判據(jù)(6,/12),例15,解,由于,A,為每個特征值都只有一個約旦塊,且對應(yīng)于各約旦塊的,C,的分塊的第一列都不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。,模態(tài)判據(jù)(7,/12),
29、例15,解,由于,A,中特征值-4的兩個約旦塊所對應(yīng)的,C,的分塊的第一列線性相關(guān),該系統(tǒng)的狀態(tài),x,1,x,2,和,x,3,不完全能觀,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,狀態(tài)空間,x,1,-x,2,-x,3,-x,4,不完全能觀,狀態(tài)變量,x,1,-x,2,-x,4,不完全能觀,狀態(tài)變量,x,3,完全能觀,還能再分解否？,模態(tài)判據(jù)(8,/12),由定理,4-8,的結(jié)論(,2),對單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,有如下推論。,推論,4-2,若單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng),(,A,C,),的約旦規(guī)范形的系統(tǒng)矩陣為某個特征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣,則該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,定理,4-8,所給出的狀態(tài)能觀性的模態(tài)判據(jù)在
30、應(yīng)用時需將一般的狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,屬于一種間接方法。,下面我們給出另一種形式的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù),稱為,PBH,秩判據(jù)。,該判據(jù)屬于一種直接法。,模態(tài)判據(jù)(9,/12),推論,4-2,與定理,4-9,定理,4-9,線性定常連續(xù)系統(tǒng),(,A,C,),狀態(tài)完全能觀的充要條件為,:,對于所有的,下式成立,:,該定理的證明可由定理,4-8,直接得到。,對于所有的,直接檢驗定理,4-9,的條件較困難。,可以證明,定理,4-9,的條件式對于所有的,成立等價于其對,A,的所有特征值成立。,因此,應(yīng)用定理,4-9,時,只需將,A,的所有特征值代入定理,4-9,的條件式,檢驗其成立與否即可。,模態(tài)判
31、據(jù)(10,/12),例,9,例,4-9,試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。,解,由方程|,I,-,A,|=0,可解得矩陣,A,的特征值分別為-1,-2,和-3。對特征值,1,=-1,有,列,3=,列,2-,列,1,模態(tài)判據(jù)(11,/12),例16,由定理,4-9,知,因為對應(yīng)于特征值-1,定理,4-9,的條件不成立,故該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,模態(tài)判據(jù),(12,/12),能觀性判據(jù)小結(jié),判定方法,特點,判據(jù),矩陣指數(shù)函數(shù)判據(jù),代數(shù)判據(jù),模態(tài)判據(jù)1,模態(tài)判據(jù)2,矩陣函數(shù),C,e,At,的各列函數(shù)線性獨立,能觀性矩陣,Q,o,滿秩,約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對應(yīng)的,C,矩陣分塊的第一列線性無關(guān),對于所有特征值,rank,I,-,A,C,=,n,需要求矩陣指數(shù)函數(shù)并判定函數(shù)相關(guān),計算復(fù)雜,計算簡便可行。,缺點為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點)能觀,易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點)能觀。,缺點為需變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)形,易于分析哪些特征值(極點)能觀。,缺點為需求系統(tǒng)的特征值,清楚了嗎?,
線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性
