線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),目錄(1/1),目 錄,概述,5.1,李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,5.2,李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理,5.3,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,5.4,非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,5.5 Matlab,問(wèn)題,本章小結(jié),5.3,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,本節(jié)主要研究李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。,討論的主要問(wèn)題有:,基本方法,: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程的求解,線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及穩(wěn)定性分析,李雅普諾夫方法在,線性系統(tǒng)的應(yīng)用,(1/2)

2、,由上節(jié)知,李雅普諾夫第二法是分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法,但具體運(yùn)用時(shí)將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,由于各類系統(tǒng)的復(fù)雜性,在應(yīng)用李雅普諾夫第二法時(shí),難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數(shù)的方法。,目前的處理方法是,針對(duì)系統(tǒng)的不同分類和特性,分別尋找建立李雅普諾夫函數(shù)的方法。,李雅普諾夫方法在,線性系統(tǒng)的應(yīng)用,(,2/2),本節(jié)將討論對(duì)線性系統(tǒng),包括,線性定常連續(xù)系統(tǒng),、,線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng),和,線性定常離散系統(tǒng),如何利用李雅普諾夫第二法及如何選取李雅普諾夫函數(shù)來(lái)分析該線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,李雅普諾夫方法在線性,系統(tǒng)的應(yīng)用,(,3/2),5.3.1,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3、分析,設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,x,=,A,x,這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn):,1),當(dāng)系統(tǒng)矩陣,A,為非奇異時(shí),系統(tǒng)有且僅有一個(gè)平衡態(tài),x,e,=0,即為狀態(tài)空間原點(diǎn);,2),若該系統(tǒng)在平衡態(tài),x,e,=0,的某個(gè)鄰域上是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的;,3),對(duì)于該線性系統(tǒng),其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。,線性,定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,/21),上述第(3)點(diǎn)可由如下定理中得到說(shuō)明。,定理,5-7,線性定常連續(xù)系統(tǒng),x,=,A,x,的平衡態(tài),x,e,=0,為漸近穩(wěn)定的充要條件為:,對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣,Q,都存在一個(gè)正定矩陣,P,為矩陣方

4、程,PA,+,A,P,=-,Q,的解,并且正定函數(shù),V,(,x,)=,x,P,x,即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。,線性定常連續(xù),系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(2,/21),定理,5-7,證明,(1) 先證充分性。,即證明,若對(duì)任意的正定矩陣,Q,存在正定矩陣,P,滿足方程,PA,+,A,P,=-,Q,則平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的。,證明思路：,線性定常連續(xù),系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(3,/21),由于,P,正定,選,擇正定函數(shù),V,(,x,)=,x,P,x,為李,雅普諾夫函數(shù),計(jì)算李雅普諾夫函數(shù),V,(,x,)對(duì)時(shí)間,t,的,全導(dǎo)數(shù),V,(,x,),通過(guò)判定,V,(,x,)的定

5、號(hào)性來(lái)判定平衡態(tài),x,e,的穩(wěn)定性,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(4,/21),證明過(guò)程為：,已知滿足矩陣方程,PA,+,A,P,=-,Q,的正定矩陣,P,存在,故令,V,(,x,)=,x,P,x,.,由于,V,(,x,),為正定函數(shù),而且,V,(,x,),沿軌線對(duì)時(shí)間,t,的全導(dǎo)數(shù)為,V,(,x,)=,(,x,P,x,),=,x,P,x,+,x,P,x,=(,A,x,),P,x,+,x,P,a,x,=,x,(,A,P,+,P,A,),x,=-,x,Q,x,而,Q,為正定矩陣,故,V,(,x,),為負(fù)定函數(shù),根據(jù),漸近穩(wěn)定性定理,(,定理,5-4,),即證明了系統(tǒng)的平衡態(tài),x,e

6、,=0,是漸近穩(wěn)定的,于是充分性得證。,(2) 再證必要性。,即證明:若系統(tǒng)在,x,e,=0,處是漸近穩(wěn)定的,則對(duì)任意給定的正定矩陣,Q,必存在正定矩陣,P,滿足矩陣方程,PA,+,A,P,=-,Q,證明思路：,由正定矩陣,Q,構(gòu)造滿足,矩陣方程,PA,+,A,P,=-,Q,的正定矩陣,P,。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(5,/21),證明過(guò)程為,：,對(duì)任意給定的正定矩陣,Q,構(gòu)造,矩陣,P,如下,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(6,/21),由矩陣指數(shù)函數(shù),e,At,的定義和性質(zhì)知,上述被積矩陣函數(shù)的各元素一定是具有,t,k,e,t,形式的諸項(xiàng)之和,其,是,A,的

7、特征值。,因?yàn)橄到y(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,則矩陣,A,的所有特征值,的實(shí)部一定小于零,因此上述積分一定存在,即,P,為有限對(duì)稱矩陣。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(7,/21),又由于,Q,正定,矩陣指數(shù)函數(shù),e,At,可逆,則由方程(,5-15),可知,P,為有限的正定矩陣。,因此,P,為正定矩陣。,線性定常,連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,(8,/21),將矩陣,P,的表達(dá)式(,5-15),代入矩陣方程,PA,+,A,P,=-,Q,可得:,因此,必要性得證。,線性定常,連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,(9,/21),上述定理給出了一個(gè)判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡(jiǎn)便方法,該方法,不

8、需尋找李雅普諾夫函數(shù),不需求解系統(tǒng)矩陣,A,的特征值,只需解一個(gè)矩陣代數(shù)方程即可,計(jì)算簡(jiǎn)便。,該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。,由上述定理,可得如下關(guān)于正定矩陣,P,是李雅普諾夫矩陣方程的唯一解的推論。,推論,5-1,如果線性定常系統(tǒng),x,=,A,x,在平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的,那么李雅普諾夫代數(shù)方程,PA,+,A,P,=-,Q,對(duì)給定的任意正定矩陣,Q,存在唯一的正定矩陣解,P。,證明,用反證法證明,。,即需證明: 李雅普諾夫代數(shù)方程由兩個(gè)正定矩陣解,但該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,設(shè)李雅普諾夫代數(shù)方程由兩個(gè)正定矩陣解,P,1,和,P,2,則將,P,1,和,P,2,代入該方程后有,

9、P,1,A,+,A,P,1,=-,Q,P,2,A,+,A,P,2,=-,Q,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(10,/21),推論1,兩式相減,可得,(,P,1,-,P,2,),A,+,A,(,P,1,-,P,2,)=0,因此,有,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(11,/21),所以,對(duì)任意的,t,下式均成立:,令,t,=0,和,t,=,T,(,0),則有,推論,5-1,如果線性定常系統(tǒng),x,=,A,x,在平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的,那么李雅普諾夫代數(shù)方程,PA,+,A,P,=-,Q,對(duì)給定的任意正定矩陣,Q,存在唯一的正定矩陣解,P。,由,定理,5-7,可知,當(dāng)

10、,P,1,和,P,2,為滿足李雅普諾夫方程的正定矩陣時(shí),則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。,故系統(tǒng)矩陣,A,為漸近穩(wěn)定的矩陣,矩陣指數(shù)函數(shù),e,AT,將隨著,T,而趨于零矩陣,即,P,1,-,P,2,=0,或,P,1,=,P,2,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(12,/21),在應(yīng)用上述基本定理和推論時(shí),還應(yīng)注意下面幾點(diǎn):,如果,V,(,x,t,)=-,x,Q,x,沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,那么,Q,可取為非負(fù)定矩陣,而系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件為:,存在正定矩陣,P,滿足李雅普諾夫代數(shù)方程。,Q,矩陣只要選成正定的或根據(jù)上述情況選為非負(fù)定的,那么最終的判定結(jié)果將與,Q,的不同選擇無(wú)關(guān)。,由

11、,定理,5-7,及其,推論,5-1,可知,運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí),最方便的是選取,Q,為單位矩陣,即,Q,=,I,。,于是,矩陣,P,的元素可按如下李雅普諾夫代數(shù)方程:,PA,+,A,P,=-,I,求解,然后根據(jù),P,的正定性來(lái)判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(13,/21),下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明如何通過(guò)求解矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程來(lái)判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,例,5-9,試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(14,/21),例,5-9,解,設(shè)選取的李雅普諾夫函數(shù)為,V,(,x,)=,x,P,x,由,

12、定理,5-7,可知,上式中的正定矩陣,P,滿足李雅普諾夫方程,PA,+,A,P,=-,I,.,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(15,/21),例,5-9,于是,令對(duì)稱矩陣,P,為,將,P,代入李雅普諾夫方程,可得,展開后得,有:,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(16,/21),因此,得如下聯(lián)立方程組:,解出,p,11,p,12,和,p,22,得,為了驗(yàn)證對(duì)稱矩陣,P,的正定性,用合同變換法檢驗(yàn)如下:,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(17,/21),由于變換后的對(duì)角線矩陣的對(duì)角線上的元素都大于零,故矩陣,P,為正定的。因此,系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。,此時(shí),系統(tǒng)

13、的李雅普諾夫函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對(duì)時(shí)間,t,的全導(dǎo)數(shù)分別為,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,8/21),例,5-10,例,5-10,控制系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。,要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,試確定增益的取值范圍。,解,由圖可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,9/21),例,5-10,不難看出,原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。,選取,Q,為非負(fù)定實(shí)對(duì)稱矩陣,則,由于為非正定,且只在原點(diǎn)處才恒為零,其他非零狀態(tài)軌跡不恒為零。,因此,對(duì)上述非負(fù)定的,Q,李雅普諾夫代數(shù)方程和相應(yīng)結(jié)論依然成立。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(,20/21),例,5-10,設(shè),P,為實(shí)對(duì)稱矩陣并代入李雅普諾夫方程,可得,求得,為使原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的,矩陣,P,須為正定。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(,21/21),例,5-10,采用合同變換法,有,從而得到,P,為正定矩陣的條件,即,0,k,6,由上例可知,選擇,Q,為某些非負(fù)定矩陣，也可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,益處是可使數(shù)學(xué)運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。,