狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形

《狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形（79頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,目錄(1/1),目 錄,概述,2.1,狀態(tài)和狀態(tài)空間模型,2.2,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型,2.3,根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型,2.4,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型,2.5,傳遞函數(shù)陣,2.6,線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,2.7 Matlab,問題,本章小結(jié),狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(1,/8),2.4,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,從上一節(jié)的討論可知,同一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,即使其維數(shù)相同,但其具體結(jié)構(gòu)和系數(shù)矩陣也是多種多樣的,如系統(tǒng)矩陣,A,可以為對角線矩陣的或

2、者約旦矩陣的,也可以為其他形式的。,即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性,。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,2/8),為何同一個系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間模型?,原因,: 狀態(tài)變量的不同選擇,這就產(chǎn)生了一個問題:,各種不同選擇的狀態(tài)變量之間,以及它們所對應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間的關(guān)系如何?,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,3/8),此外,在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中,某些特殊的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型對討論問題相對簡單得多,如前面建立的對角線規(guī)范形的和約旦規(guī)范形。,于是自然會提出如下問題:,如何把一般形式的狀態(tài)空間模型變換成特定形式的狀態(tài)空間模型,以降低系統(tǒng)的分析問題和設(shè)計(jì)問題的難度。,解決上述兩個問題,就

3、需引入狀態(tài)空間的線性變換。,什么是狀態(tài)空間的線性變換?,如何理解?,本章關(guān)鍵喔!,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,4/8),狀態(tài)變量是一組實(shí)變量,它們所組成的狀態(tài)空間為一個實(shí)線性空間。,由線性代數(shù)知識可知,線性空間中,隨著表征空間坐標(biāo)的,基底的選取的不同,空間中的點(diǎn)關(guān)于各種基底的,坐標(biāo)亦不同,。,這些基底之間的關(guān)系為進(jìn)行了一次坐標(biāo)變換,而空間中的點(diǎn)的,坐標(biāo)則相當(dāng)于作了一次相似變換。,如,在如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,A,點(diǎn)在兩個坐標(biāo)系下的坐標(biāo)存在如下變化關(guān)系(其中,P,為非可逆的變換矩陣),狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,5/8),n,維空間中的旋轉(zhuǎn)變換、極坐標(biāo)變換,線性空間

4、中的相似變換,都屬于空間變換。,其中旋轉(zhuǎn)變換和相似變換還屬于線性變換。,狀態(tài)空間中由于狀態(tài)變量的不同選擇類似于線性空間中的坐標(biāo)架的不同選擇，,同一個系統(tǒng)不同選擇狀態(tài)變量組之間存在類似于線性空間不同坐標(biāo)架之間的線性變換,因此我們將在狀態(tài)空間中坐標(biāo)變換稱為狀態(tài)空間的線性變換。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,6/8),引入坐標(biāo)變換和狀態(tài)空間線性變換等概念,實(shí)際上就回答了上述兩個問題:,1.,不同選取狀態(tài)變量之間存在一個,坐標(biāo)變換,其相應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間也存在一個相應(yīng)的,相似變換,。,2.,既然可以對狀態(tài)變量和狀態(tài)空間模型進(jìn)行線性變換,則在一定條件下應(yīng)可以將一般形式的狀態(tài)空間模型變換成某種

5、特殊的狀態(tài)空間模型。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,7/8),本節(jié)主要討論狀態(tài)空間的線性變換,以及如何將系統(tǒng)狀態(tài)空間描述變?yōu)槠浼s旦規(guī)范形。,本章關(guān)鍵問題:,1.,線性變換的幾何及空間意義,建立空間想象力,2.,如何作系統(tǒng)線性變換,3.,系統(tǒng)的對角規(guī)范形和約旦規(guī)范形描述,4.,代數(shù)重數(shù)、幾何重數(shù)與約旦矩陣,5.,如何求矩陣的廣義特征向量,建立空間概念,可是學(xué)好控制理論的關(guān)鍵喔,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,8/8),主要內(nèi)容為,:,狀態(tài)空間的線性變換,系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形,化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形,狀態(tài)空間的線性變換(1/,2),2.4.1

6、,狀態(tài)空間的線性變換,對于一個,n,階,動態(tài)系統(tǒng),可通過選擇適當(dāng)?shù)?n,個狀態(tài)變量以建立狀態(tài)空間模型來描述它。,但是,這,n,個狀態(tài)變量的選擇卻不是唯一的。,這一點(diǎn)可利用線性代數(shù)中的基底不唯一來理解。,一個,n,維線性獨(dú)立的狀態(tài)變量向量,在,n,維狀態(tài)空間中構(gòu)成一個坐標(biāo)系,即相當(dāng)于空間中的一個基底。,根據(jù)線性代數(shù)知識,在這個空間中還存在另外的坐標(biāo)系,且與原坐標(biāo)系存在一個線性變換關(guān)系。,狀態(tài)空間的線性變換(,2/2),下面分別討論:,狀態(tài)空間的線性變換,狀態(tài)空間模型的線性變換,上述狀態(tài)變量向量,x,與,間的變換,稱為狀態(tài)的線性變換。,由線性代數(shù)知識可知,它們之間必有如下變換關(guān)系,狀態(tài)空間的線性變

7、換(1/1),1.,狀態(tài)空間的線性變換,設(shè)描述同一個,線性,狀態(tài)空間的兩個,n,維的狀態(tài)變量向量分別為,其中,P,為,n,n,維的非奇異變換矩陣。,值得指出的是:,變換矩陣,P,只有為非奇異的,才能使,x,和,間的變換關(guān)系是等價的、唯一的和可逆的。,兩種表達(dá)式式之間存在什么關(guān)系?,狀態(tài)空間的線性變換(1,/14),2,.狀態(tài)空間模型的線性變換,設(shè)在狀態(tài)變量,x,和,下,系統(tǒng)狀態(tài)空間模型分別為,將變換關(guān)系,x,=,P,代入,(,A,B,C,D,),的,狀態(tài)方程中有,狀態(tài)空間的線性變換(,2/14),由于變換矩陣,P,非奇異,因此有,則有,應(yīng)該注意的是,系統(tǒng)的初始條件也必須作相應(yīng)的變換,即,將上式

8、與狀態(tài)空間模型,比較,則線性系統(tǒng),(,A,B,C,D,),在線性變換矩陣,P,下的各矩陣具有如下對應(yīng)關(guān)系,其中,t,0,為系統(tǒng)運(yùn)動的初始時刻。,狀態(tài)空間的線性變換(,12/14),例,2-5,下面介紹狀態(tài)空間模型變換的算例。,例,2-5,試將以下狀態(tài)空間模型,作變換矩陣為下式所示的線性變換,狀態(tài)空間的線性變換(1,3/14),解,線性變換,P,的逆矩陣為,因此,有,狀態(tài)空間的線性變換(1,4/14),故系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,值得指出的是,狀態(tài)空間的線性變換只是對狀態(tài)變量作變換,對系統(tǒng)的輸入和輸出未作變換,因此,系統(tǒng)的輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系對狀態(tài)變換保持不變,。,系統(tǒng)特征值的

9、不變性與系統(tǒng)的不變量,(,1/2),2.4.2,系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量,由前面的討論可知,當(dāng)選擇不同的狀態(tài)變量,則獲得不同的狀態(tài)空間模型描述。,實(shí)際上,狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇下對系統(tǒng)的一種描述,它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同,并不具有唯一性和不變性。,那么,到底系統(tǒng)在狀態(tài)空間中有哪些描述,哪些性質(zhì)是不變的,是不隨狀態(tài)變量的選取不同而變化的?,線性定常系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值和特征向量所表征。,系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)運(yùn)動的特性和行為具有重要的影響,決定了系統(tǒng)的基本特性。,系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量,(,2/2),下面我們將討論系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)線性變換后,其特征值不變,亦即狀

10、態(tài)線性變換不改變系統(tǒng)的基本特性。,系統(tǒng)矩陣的特征值是一種描述系統(tǒng)本質(zhì)特征的,并具有唯一性的不變量,即不隨狀態(tài)變量的選取不同而變化的不變量,它在系統(tǒng)分析和綜合上起著重要的作用。,下面將分別討論:,系統(tǒng)的特征值和特征向量,系統(tǒng),特征值的不變性,特征向量的計(jì)算,廣義特征向量和特征向量鏈,難點(diǎn)喔!,重點(diǎn)喔,難點(diǎn)喔!,重點(diǎn)喔,系統(tǒng)的特征值和特征向量(,1/,4),1,.,系統(tǒng)的特征值和特征向量,狀態(tài)空間的線性變換,只是改變了描述系統(tǒng)的角度(或說坐標(biāo)系),系統(tǒng)的本質(zhì)特征應(yīng)保持不變。,對于線性定常系統(tǒng)來說,系統(tǒng)的特征值(極點(diǎn))決定了系統(tǒng)的基本特性。,特征值應(yīng)是系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征之一。,系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)線性變換后,

11、其本質(zhì)特征之一的特征值應(yīng)保持不變,亦即狀態(tài)線性變換不改變系統(tǒng)的基本特性。,下面先討論矩陣特征值和特征向量的定義。,系統(tǒng)的特征值和特征向量(,2/,4),特征值和特征向量定義,定義,2-2,設(shè),v,是,n,維非零向量,A,是,n,n,矩陣。若方程組,Av,=,v,成立,則稱,為矩陣,A,的,特征值,非零向量,v,為,所對應(yīng)的矩陣,A,的,特征向量,。,將上述特征值的定義式寫為,(,I,-,A,),v,=0,其中,I,為,n,n,的單位矩陣。,因此,由代數(shù)方程論可知,上式有非零特征向量,v,的解的充要條件為,|,I,-,A,|=0,并稱上式為矩陣,A,的,特征方程,而,|,I,-,A,|,為,A,

12、的,特征多項(xiàng)式,。,系統(tǒng)的特征值和特征向量(,3/4),特征值和特征向量定義,將,|,I,-,A,|,展開，可得,|,I,-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,=0,其中,a,i,(,i,=1,2,n,),稱為特征多項(xiàng)式的系數(shù)。,因此,n,n,維的矩陣,A,的特征多項(xiàng)式為,n,階多項(xiàng)式。,若矩陣,A,為實(shí)矩陣,則對應(yīng)的特征方程為一實(shí)系數(shù)代數(shù)方程,共有,n,個根。,這,n,個根或?yàn)閷?shí)數(shù),或?yàn)槌蓪Τ霈F(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。,求解矩陣特征值的方法即為求解矩陣,A,的特征方程。,n,階的特征方程的,n,個根,1,2,n,即為矩陣,A,的,n,個特征值。,在得到特征值,i,后,由式

13、,(2-46),或式,(2-47),可求得矩陣對應(yīng)于,i,的特征向量,v,i,。,系統(tǒng)的特征值和特征向量(,4/4,),如下定義所示,矩陣特征值的概念可推廣至線性定常系統(tǒng),(,A,B,C,D,),。,定義,對于線性定常系統(tǒng),(,A,B,C,D,),系統(tǒng)的特征值即為系統(tǒng)矩陣,A,的特征值。,關(guān)于系統(tǒng)特征值,幾點(diǎn)注記:,A.,一個,n,維線性定常系統(tǒng)必然有,n,個特征值與之對應(yīng)。,B.,對于物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng),其系統(tǒng)矩陣必為實(shí)矩陣。,因此,線性定常系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式必為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,即系統(tǒng)的特征值或?yàn)閷?shí)數(shù),或?yàn)槌蓪Τ霈F(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。,系統(tǒng),特征值的不變性(1/2),2.,系統(tǒng)特征值的不變性,系統(tǒng)的特征

14、值表征了系統(tǒng)本質(zhì)的特征。,而線性變換只是相當(dāng)于對系統(tǒng)從另外一個角度來描述而已,并未改變系統(tǒng)的本質(zhì)。,刻劃了系統(tǒng)本質(zhì)特征的系統(tǒng)特征值應(yīng)不隨線性變換而改變,即有如下,結(jié)論,:,線性定常系統(tǒng)特征值對線性變換具有不變性。,系統(tǒng),特征值的不變性(2/2),對于這個結(jié)論,亦可證明如下:,設(shè)系統(tǒng)原狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣為,A,經(jīng)線性變換,后,系統(tǒng)矩陣為,可見,系統(tǒng)經(jīng)線性變換后,其特征值不變。,矩陣,的特征多項(xiàng)式為,即證明了,A,的特征多項(xiàng)式等于的,特征多項(xiàng)式。,特征向量的計(jì)算,(1,/9),3.,特征向量的計(jì)算,如何求解特征值,i,對應(yīng)的,特征向量?,求解特征向量,即求如下齊次矩陣代數(shù)方程的非零解,(,i

15、,I,-,A,),v,i,=0,由于,i,為,A,的特征值,故,i,I,-,A,不可逆。,因此,由代數(shù)方程理論可知,該方程組的解并不唯一。,由特征向量的定義可知,我們需求解的是線性獨(dú)立的特征向量。,實(shí)際上,具體求特征向量時,可假定其特征向量的某個或幾個元素的值,然后再求得該特征向量其他元素的值。,特征向量的計(jì)算,(2,/9),當(dāng)特征方程存在重根時,線性獨(dú)立的特征向量可能不唯一。,因此,就產(chǎn)生如下問題:,問題:,對應(yīng)于特征值,i,究竟有幾個獨(dú)立的特征向量,?,答案:,矩陣的重特征值,i,所對應(yīng)的線性獨(dú)立的特征向量可能不止一個。,它的獨(dú)立特征向量的數(shù)目等價于系統(tǒng)的維數(shù)與線性方程組(,2-47),的

16、線性獨(dú)立的方程數(shù)之差,即為,n,-rank(,i,I,-,A,),其中,rank,為矩陣的秩。,特征向量的計(jì)算,(3,/9),因此,r,重的特征值可能存在1至,r,個線性獨(dú)立的特征向量。,由此,導(dǎo)出如下問題:,獨(dú)立的特征向量數(shù)到底具有什么意義?,它與特征值的重數(shù)之間有何關(guān)系?,下面引入代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)兩個概念。,不要混淆喔!,特征向量的計(jì)算,(4,/9),兩個基本概念:,代數(shù)重數(shù),。,由特征方程求得的特征值,i,的重數(shù)稱為特征值,i,的代數(shù)重數(shù)。,幾何重數(shù),。,特征值,i,線性獨(dú)立的特征向量數(shù)稱為特征值,i,的幾何重數(shù)。,代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)是兩個不同的概念。,幾何重數(shù)具有幾何上空間表征的意義

17、,它代表在空間分解上不變的幾何子空間的數(shù)目。,而代數(shù)重數(shù)僅具有代數(shù)意義,它代表特征值在特征方程的重數(shù)。,特征向量的計(jì)算,(5,/9),例,2-6,例,2-6,求如下矩陣的特征向量,解,1.,由特征方程,|,I,-,A,|=0,求得系統(tǒng)的特征值。,特征向量的計(jì)算,(,6/9),例,2-6,解該,特征方程,可求得系統(tǒng)的特征值為,1,=1,2,=,3,=2,即2為系統(tǒng)的二重特征值,其代數(shù)重數(shù)為2,2.,計(jì)算,1,=1,的特征向量。,按定義有,(,1,I-,A,),v,1,=0,即,特征向量的計(jì)算,(,7/9),例,2-6,解之得特征向量,v,1,的通解為,v,1,=,v,11,v,11,2,v,11

18、,令,v,11,=1,解之得,v,1,=,v,11,v,12,v,13,= 1 1 2,特征向量的計(jì)算,(,8/9),例,2-6,3.,計(jì)算重特征值,2,=,3,=2,的特征向量。,按定義有,(,2,I-,A,),v,2,=0,即,特征向量的計(jì)算,(,9/9)-,例,2-6,由于,n,-rank(,2,I,-A)=2,因此,特征值應(yīng)有,2,個獨(dú)立特征向量,故該重特征值的幾何重數(shù)亦為2。,解之得特征向量,v,2,的通解為,v,2,=,v,21,v,22,v,21,令,v,21,=1,v,22,=0,和,1,解之得,v,2,=1 0 1,和,v,3,=1 1 1,即重特征值,2有兩個線性獨(dú)立的特征

19、向量。,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,/12),4.,廣義特征向量和特征向量鏈,某些重特征值的線性獨(dú)立特征向量數(shù)(幾何重數(shù))小于其代數(shù)重數(shù),從而使得矩陣所有特征值所對應(yīng)的線性獨(dú)立特征向量數(shù)之和小于矩陣維數(shù)。,為此,為能進(jìn)行空間的結(jié)構(gòu)分解和分析,下面引入一組輔助的空間變換基向量-廣義特征向量和特征向量鏈。,定義,廣義特征向量是重特征值,i,所對應(yīng)的某個線性獨(dú)立的特征向量,v,j,滿足如下方程組的向量,v,j,k,:,廣義特征向量和特征向量鏈,(2,/12),解上述方程組一直到無解為止,就可求得特征值,i,的特征向量,v,j,所對應(yīng)的所有廣義特征向量,v,j,k,。,重特征值,i,的所有線性獨(dú)立

20、特征向量,v,j,及其對應(yīng)的廣義特征向量,v,j,k,的個數(shù)等于其代數(shù)重數(shù),否則就還存在其他特征向量或廣義特征向量。,值得指出的是,并不是重特征值,i,的任何一組線性獨(dú)立的特征向量,都能求出所有的廣義特征向量。,若,i,的某一組特征向量,v,j,及其相應(yīng)廣義特征向量,v,j,k,的個數(shù)小于該特征值的代數(shù)重數(shù),則應(yīng)重新選取其他一組線性獨(dú)立的特征向量并求取相應(yīng)的廣義特征向量。,廣義特征向量和特征向量鏈,(3,/12),重特征值,i,的特征向量,v,j,的廣義特征向量,v,j,1,v,j,2,組成的向量鏈稱為,i,的特征向量,v,j,對應(yīng)的特征向量鏈。,廣義特征向量并不是矩陣的特征向量,它只是與對應(yīng)

21、的特征向量組成該矩陣在,n,維線性空間中的一個不變子空間。,矩陣的所有特征向量和廣義特征向量線性獨(dú)立,并且構(gòu)成,n,維線性空間的一組基底。,這在矩陣分析中是相當(dāng)重要的。,廣義特征向量和特征向量鏈,(4,/12),下面通過一個例子來簡單介紹線性空間的特征子空間分解。,例,某5維線性空間,存在一個3重特征值和一個2重特征值。,3重特征值有2個獨(dú)立特征向量,2重特征值有1個獨(dú)立特征向量。,則該線性空間可分解為如下3個獨(dú)立的不變特征子空間。,廣義特征向量和特征向量鏈,(5,/12),廣義特征向量和特征向量鏈,(6,/12),若該5維線性空間,3重特征值有1個獨(dú)立特征向量,2重特征值有2個獨(dú)立特征向量。

22、,則該線性空間可分解為如下3個獨(dú)立的不變特征子空間。,廣義特征向量和特征向量鏈,(7,/12),例,2-7,例,2-7,求如下矩陣的特征向量和特征向量鏈,解,1.,由特征方程|,I,-,A,|=0,可求得系統(tǒng)的特征值為,1,=,2,=,3,=-1,即-1為系統(tǒng)的三重特征值,其代數(shù)重數(shù)為3。,2.,計(jì)算對應(yīng)于三重特征值-,1,的特征向量。,按定義有,(,1,I-,A,),v,1,=0,廣義特征向量和特征向量鏈,(8,/12),例,2-7,即,由于,n,-rank(,1,I-A)=2,因此,該特征值應(yīng)有,2,個獨(dú)立特征向量,故該重特征值的幾何重數(shù)亦為2。,由于該重特征值的幾何重數(shù)小于代數(shù)重數(shù)，因此

23、存在廣義特征向量。,解之得如下特征向量的通解式,v,1,=,v,11,v,12,-(,v,11,+,v,12,),/2,廣義特征向量和特征向量鏈,(9,/12),例,2-7,分別令兩組獨(dú)立的,v,11,v,12,即可求得,三重特征值,1,的,兩個線性獨(dú)立的特征向量。,三重特征值-1只有兩個線性獨(dú)立特征向量,其幾何重數(shù)為2。,因此,重特征值-1的兩個獨(dú)立特征向量中有一個一定存在廣義特征向量。,下面通過求廣義特征向量來輔助決定選取合適的,v,11,和,v,12,。,廣義特征向量和特征向量鏈,(,10/12),例,2-7,3.,計(jì)算對應(yīng)于特征向量的廣義特征向量和特征向量鏈。,按定義式(,2-51),

24、特征向量,v,1,的廣義特征向量,v,1,2,滿足,(,1,I-,A,),v,1,2,=-,v,1,即,因此,根據(jù)方程的可解性,存在廣義特征向量的特征向量,v,1,中的,v,11,和,v,12,滿足,v,11,=-3,v,12,3,倍關(guān)系,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,1/12),例,2-7,此時的廣義特征向量的解為,v,1,2,=,r,1,r,2,-(,r,1,+,r,2,-,v,12,),/2,其中,r,1,和,r,2,為任意數(shù)。,因此存在廣義特征向量的特征向量,v,1,為和其對應(yīng)的廣義特征向量可以分別取為,v,1,=,v,11,v,12,-(,v,11,+,v,12,),/2,=-3,

25、v,12,v,12,v,12,=1 -1/3 -1/3,v,1,2,=,r,1,r,2,-(,r,1,+,r,2,-,v,12,),/2,=1 2/3 -1,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,2/12),例,2-7,另外一個不存在廣義特征向量的,三重特征值,1,的特征向量為,v,2,=,v,11,v,12,-(,v,11,+,v,12,),/2,=1 0 -1/2,本例共求得3個特征向量和廣義特征向量,。,由于矩陣,A,的維數(shù)為3,3,因此對應(yīng)于上述特征向量和廣義特征向量,已不存在其他廣義特征向量。,故特征值,1,對應(yīng)于特征向量,v,1,的特征向量鏈為,v,1,和,v,1,2,。,化狀態(tài)方程為對

26、角線規(guī)范形(1,/12),2.4.3,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形,對角線規(guī)范形是指系統(tǒng)矩陣,A,為對角線矩陣的一類狀態(tài)空間模型。,對于該類狀態(tài)空間模型,由于在系統(tǒng)分析和綜合時,清晰直觀,使問題得以簡化,該類系統(tǒng)可簡化成,n,個一階慣性環(huán)節(jié)的并聯(lián),故在狀態(tài)空間分析法中是較重要的一類特殊狀態(tài)空間模型。,任何具有,n,個線性獨(dú)立特征向量的狀態(tài)空間模型一定能經(jīng)狀態(tài)變換變換成對角線規(guī)范形。,該結(jié)論可詳細(xì)地并構(gòu)造性地證明如下。,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(2,/12),結(jié)論,已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,其中系統(tǒng)矩陣,若,A,的,n,個特征值,1,2,n,所對應(yīng)的特征向量線性獨(dú)立,則必存在變換矩陣,P,使其進(jìn)

27、行狀態(tài)變換,x,=,P,后為對角線規(guī)范形,即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,為對角線矩陣,并且變換矩陣,P,可取為,P,=,p,1,p,2,p,n,其中,p,i,為矩陣,A,對應(yīng)于特征值,i,的特征向量。,三、化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(3,/12),證明,若,p,i,為對應(yīng)與特征值,i,的獨(dú)立特征向量,則必有,Ap,i,=,i,p,i,因此有,Ap,1,Ap,2,Ap,n,=,1,p,1,2,p,2,n,p,n,對上式兩邊分別有,Ap,1,Ap,2,Ap,n,=,A,p,1,p,2,p,n,=,AP,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(4,/12),故,AP,=,P,diag,1,2,n,即,P,-1,AP,=dia

28、g,1,2,n,即證明了結(jié)論。,對原狀態(tài)方程進(jìn)行線性變換,的后,可得,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,5/12)-,例,2-8,例,2-8,試將下列狀態(tài)空間模型變換為對角線規(guī)范形,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,6/12)-,例,2-8,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,1,=-1,2,=-2,3,=-3,2.,求特征值所對應(yīng)的特征向量。,由前述的方法可求得特征值,1,2,和,3,所對應(yīng)的特征向量分別為,p,1,=1 0 1,p,2,=1 2 4,p,3,=1 6 9,3.,取,A,的特征向量組成變換矩陣,P,并求逆陣,P,-1,即有,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,7/12),例,

29、2-8,4,.,計(jì)算各矩陣,5.,系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,8/12),下面給出快速計(jì)算矩陣特征向量及對角線規(guī)范形的一個特例:,在第三節(jié)討論的狀態(tài)空間模型中,其系統(tǒng)矩陣為,其特征多項(xiàng)式為,|,I-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,即該類矩陣的最后一行與特征多項(xiàng)式的系數(shù)一一對應(yīng)。,該類特殊系統(tǒng)矩陣,A,稱為,友矩陣,。,單位,矩陣,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,9/12),友矩陣的特征向量的特點(diǎn):,當(dāng)特征值為,i,時,其對應(yīng)的特征向量為,該結(jié)論可由下式證明。,即,p,i,為友矩陣的特征值,i,對應(yīng)的特征向量。,化狀態(tài)方程為對

30、角線規(guī)范形(,10/12)-,例,2-9,因此,當(dāng)友矩陣的特征值互異時,將友矩陣變換成對角線矩陣的變換矩陣恰為下述,范德蒙矩陣,例,2-9,試將下列狀態(tài)空間模型變換為對角線規(guī)范形,三、化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(1,1/12)-,例,2-9,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,1,=0,2,=-1,3,=-2,2.,由于,A,為友矩陣,故將,A,變換成對角線矩陣的變換矩陣,P,及其,逆陣,P,-1,分別為,三、化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(1,2/12),例,2-9,3,.,計(jì)算各矩陣,4,.,系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形(1/1),2.4.4,化

31、狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形,若系統(tǒng)存在重特征值且線性獨(dú)立特征向量數(shù)小于該特征值的重數(shù)時,則系統(tǒng)矩陣,A,不能變換成對角線矩陣。,在此種情況下,A,可變換成約旦矩陣,系統(tǒng)表達(dá)式可變換成約旦規(guī)范形。,下面將分別討論,約旦塊和約旦矩陣,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,約旦塊和約旦矩陣,(1/,3),1.,約旦塊和約旦矩陣,矩陣的約旦塊的定義為,由,l,個約旦塊,J,i,組成的塊對角的矩陣稱為約旦矩陣,如,J,=block-diag,J,1,J,2,J,l,約旦塊和約旦矩陣,(2/,3),下述矩陣均為約旦矩陣,上述第一個約旦矩陣有兩個約旦塊,分別為,1,1,維的特征值,2,的約旦塊和,3,3,維的特征值,-1,的約旦塊

32、,;,第二個約旦矩陣有三個約旦塊,分別為,1,1,維的特征值,3,的約旦塊以及,1,1,維和,2,2,維的特征值,-1,的兩個約旦塊。,約旦塊和約旦矩陣,(,3/3),由約旦塊和約旦矩陣的定義可知,對角線矩陣可視為約旦矩陣的特例,其每個約旦塊的維數(shù)為1,1。,在本課程中,若未加以特別指出的話,則所有對約旦矩陣有關(guān)的結(jié)論都同樣適用于對角線矩陣。,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(1/16),2.,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,定義,系統(tǒng)矩陣,A,為約旦矩陣的狀態(tài)空間模型稱為約旦規(guī)范形。,與對角線規(guī)范形一樣,約旦規(guī)范形也是線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析中一種重要的狀態(tài)空間模型。,下面討論一般狀態(tài)空間模型與約旦規(guī)范形之間的線

33、性變換的計(jì)算問題。,對于任何有重特征值且其線性獨(dú)立特征向量數(shù)小于其維數(shù)的矩陣,雖然不能通過相似變換化成對角線矩陣,但,可經(jīng)相似變換化為約旦矩陣。,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(2/16),狀態(tài)空間模型變換與對角線規(guī)范形、約旦矩陣規(guī)范形的關(guān)系?,一般狀態(tài),空間表達(dá)式,對角線規(guī)范形,約旦規(guī)范形,n,個獨(dú)立特征向量,代數(shù)重數(shù)=幾何重數(shù),代數(shù)重數(shù)幾何重數(shù),n,個獨(dú)立特征向量與廣義特征向量,特例,線性變換,Understand,?,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(3/16),若將對角線矩陣視為約旦矩陣的特例的話,則任何矩陣皆可經(jīng)相似變換化為約旦矩陣。,相應(yīng)地,任何狀態(tài)空間模型都可經(jīng)狀態(tài)變換變換成約旦規(guī)范形。,任何矩陣都可

34、變換成約旦矩陣,但能變換成有幾個約旦塊的約旦矩陣,則與系統(tǒng)的特征向量有關(guān)。對此有如下,結(jié)論,:,矩陣所變換成的約旦矩陣的約旦塊數(shù)等于該矩陣的線性獨(dú)立特征向量數(shù)(即幾何重數(shù))。,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(4/16),由前面討論可知:,任何狀態(tài)空間模型一定能經(jīng)狀態(tài)變換變換成約旦規(guī)范形。,該結(jié)論可詳細(xì)地并構(gòu)造性地敘述并證明如下。,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(4/16),結(jié)論,已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,x,=,A,x,+,B,u,若,A,的共有,p,(,p,n,),個互異的特征值,l,(,p,l,n,),個線性獨(dú)立特征向量,p,i,及相應(yīng)地廣義特征向量,p,i,j,(,i,=1,2,l,;,j,=1,2,m

35、,i,),則必存在變換矩陣,P,使其進(jìn)行狀態(tài)變換,x,=,P,后為約旦規(guī)范形,即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,其中系統(tǒng)矩陣為約旦矩陣,并且變換矩陣,P,可取為,P,=,P,1,P,2,P,l,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(5/16),變換矩陣,P P,=,P,1,P,2,P,l,中的,P,i,為矩陣,A,對應(yīng)于線性獨(dú)立特征向量,p,i,的特征向量鏈組成的如下分塊矩陣,證明,若,p,i,和,p,i,j,為對應(yīng)與特征值,i,的獨(dú)立特征向量和廣義特征向量,則,必有,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(6/16),因此有,其中,J,i,為相應(yīng)的約旦塊。,Ap,i,=,i,p,i,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(7/16),即,P,-1,AP,=

36、block-diag,J,1,J,1,J,l,故,AP,i,=,P,i,J,i,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(8/16)例,2-10,即對原狀態(tài)方程進(jìn)行線性變換,的后,可得,=,P,-1,AP,=block-diag,J,1,J,2,J,l,即證明了結(jié)論。,例,2-10,試將下列狀態(tài)空間模型變換為約旦規(guī)范形,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(9/16)例,2-10,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,1,=,2,=,3,=2,4,=-1,2.,求特征值所對應(yīng)的特征向量。,由前述的方法可求得特征值2由如下兩個線性獨(dú)立特征向量,P,1,1,=1 1 -1 1/3,P,2,1,=1 0 0 -1,其

37、中,p,1,1,無廣義特征向量,而,p,2,1,的廣義特征向量為,P,2,2,=1 1 0 -1,特征值,-1的特征向量為,P,3,1,=0 0 0 1,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(10/16)例,2-10,3.,取,A,的特征向量和廣義特征向量組成變換矩陣,P,并求逆陣,P,-1,即有,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(11/16)例,2-10,4,.,計(jì)算各矩陣,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(12/16)例,2-10,5.,系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(13/16),對前面討論的特殊矩陣-友矩陣,它的廣義特征向量的快速計(jì)算方法為:,當(dāng)特征值為,i,時,其對應(yīng)的特征向量和廣義特征向量分別為,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(14/16)例,2-11,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,1,=-1,2,=,3,=-2,其中,m,i,為該特征值的代數(shù)重數(shù)。,該結(jié)論可由廣義特征向量和友矩陣的定義證明。,例,2-11,試將下列狀態(tài)空間模型變換為約旦規(guī)范形,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(15/16)例,2-11,3,.,計(jì)算各矩陣,2.,由于,A,為友矩陣,故將,A,變換成對角線矩陣的變換矩陣,P,及其,逆陣,P,-1,分別為,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(16/16)-例,2-11,4,.,系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,