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1、10。1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教學目標1理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步2會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題學習內(nèi)容知識梳理 1 分類加法計數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法2 分步乘法計數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個步驟,做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法做第n個步驟有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法3 分類加法計數(shù)原理與分步
2、乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關,各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成例題講解 題型一分類加法計數(shù)原理的應用例1高三一班有學生50人，男生30人,女生20人；高三二班有學生60人，男生30人,女生30人;高三三班有學生55人，男生35人,女生20人（1)從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席,有多少種不同的選法？(2）從高三一班、二班男生中,或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法?思維啟迪用分類加法計數(shù)原
3、理解(1)完成這件事有三類方法第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法;第三類,從高三三班任選一名學生共有55種選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理,任選一名學生任校學生會主席共有506055165(種）選法（2)完成這件事有三類方法第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法;第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法;第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法綜上知，共有30302080(種)選法思維升華分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要求，就是完成這件事情的任何一
4、種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法,只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理鞏 固 （1）在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個?（2）方程1表示焦點在y軸上的橢圓，其中m1，2，3，4，5，n1，2，3,4,5,6,7，那么這樣的橢圓有多少個？解（1)分析個位數(shù)字，可分以下幾類：個位是9，則十位可以是1，2,3，8中的一個，故有8個；個位是8，則十位可以是1，2,3，7中的一個，故有7個；同理，個位是7的有6個;個位是6的有5個；個位是2的只有1個由分類加法計數(shù)原理,滿足條件的兩位數(shù)有1234567836(個)（2）以m的值為標準分類，分為五類
5、第一類：m1時，使nm，n有6種選擇；第二類:m2時，使nm，n有5種選擇;第三類:m3時，使nm，n有4種選擇；第四類：m4時，使nm,n有3種選擇；第五類:m5時，使nm,n有2種選擇共有6543220（種)方法，即有20個符合題意的橢圓題型二分步乘法計數(shù)原理的應用例2有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法?（不一定六名同學都能參加)(1）每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；（2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限思維啟迪可以根據(jù)報名過程，使用分步乘法計數(shù)原理解（1）每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同選法
6、，由分步乘法計數(shù)原理,知共有選法36729(種）(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人,第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法,由分步乘法計數(shù)原理，得共有報名方法654120（種）（3)由于每人參加的項目不限,因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計數(shù)原理,得共有不同的報名方法63216（種）思維升華利用分步乘法計數(shù)原理解決問題：要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個步驟都完成了才算完成這件事鞏 固已知集合M3，2，1，0，1,2,若a，b，cM,則：(1)yax2bxc可以表示多
7、少個不同的二次函數(shù)；（2)yax2bxc可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù)解（1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此yax2bxc可以表示566180（個）不同的二次函數(shù)(2）yax2bxc的圖象開口向上時,a的取值有2種情況，b、c的取值均有6種情況，因此yax2bxc可以表示26672(個)圖象開口向上的二次函數(shù)題型三兩個原理的綜合應用例3如圖所示,將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)思維啟迪染色問題是常見的計數(shù)應用問題，可從選顏色、選頂點進行分類、分步，從不同角度解決問題解方法一可分
8、為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理即可得出結論由題設，四棱錐S-ABCD的頂點S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有54360(種)染色方法當S、A、B染好時,不妨設其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法;若C染5，則D可染3或4，有2種染法可見，當S、A、B已染好時,C、D還有7種染法，故不同的染色方法有607420(種)方法二以S、A、B、C、D順序分步染色第一步，S點染色，有5種方法；第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，B點染色，與S、A分別在同
9、一條棱上，有3種方法；第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有543(1322）420(種）方法三按所用顏色種數(shù)分類第一類,5種顏色全用，共有A種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色（A與C，或B與D），共有2A種不同的方法;第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色,共有A種不同的方法由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為A2AA420(種）思維
10、升華用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關鍵是明確需要分類還是分步（1）分類要做到“不重不漏，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)(2）分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)（3）對于復雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析鞏 固用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？解如圖所示，將4個小方格依次編號為1，2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不
11、同的涂法當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有A12(種）不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法由分步乘法計數(shù)原理可知，有5123180（種）不同的涂法;當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰方格不同色，因此,第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有54480（種)不同的涂法由分類加法計數(shù)原理可得，共有18080260(種)不同的涂法易錯題(1）把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有 ()A24種 B4種 C43種 D34種(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里,火車有4趟,輪船有3次，問此人的走法可有_種易錯分析解決計數(shù)問
12、題的基本策略是合理分類和分步，然后應用加法原理和乘法原理來計算解決本題易出現(xiàn)的問題是完成一件事情的標準不清楚導致計算出現(xiàn)錯誤，對于(1),選擇的標準不同，誤認為每個信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種，沒有注意到一封信只能投在一個信箱中；對于(2)，易混淆“類”與“步，誤認為到達乙地先坐火車后坐輪船,使用乘法原理計算解析（1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法只要把這3封信投完，就做完了這件事情,由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法（2）因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類
13、加法計數(shù)原理，可得此人的走法可有437(種）答案(1)C（2)7溫馨提醒(1)每封信只能投到一個信箱里，而每個信箱可以裝1封信，也可以裝2封信，其選擇不是唯一的，所以應注意由信來選擇信箱，每封信有4種選擇（2）在處理具體的應用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步的具體標準是什么選擇合理的標準處理事情，可以避免計數(shù)的重復或遺漏。綜合題庫A組1 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同（）（2）在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事（)（3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步驟都不能完成這
14、件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi（i1,2,3，,n),那么完成這件事共有m1m2m3mn種方法(）2 5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有_種答案32解析每位同學有兩種不同的報名方法，而且只有這5位同學全部報名結束,才算事件完成所以共有2222232（種）3 有不同顏色的4件上衣與不同顏色的3件長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)是_答案12解析由分步乘法計數(shù)原理,一條長褲與一件上衣配成一套,分兩步，第一步選上衣有4種選法，第二步選長褲有3種
15、選法，所以有4312(種）選法4 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有_種答案24解析分步完成首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有43224（種）5 用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字作答）答案14解析數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次,包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C4（個）四位數(shù)“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C6(個)四位數(shù)“2出現(xiàn)3次
16、，“3”出現(xiàn)1次,共可組成C4(個)四位數(shù)綜上所述,共可組成14個這樣的四位數(shù).B組1 從集合1,2，3,，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為 （）A3 B4 C6 D8答案D解析按從小到大順序有124，139，248,469共4個，同理按從大到小順序也有4個，故這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為8個2. 現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 （）A24種 B30種C36種 D48種答案D解析共有432248（種),故選D.3 集合Px,1，Qy，1，2，其中x,y1，2，3，9，且PQ.把滿足上述
17、條件的一對有序整數(shù)對(x，y）作為一個點的坐標,則這樣的點的個數(shù)是 （）A9 B14 C15 D21答案B解析當x2時，xy,點的個數(shù)為177（個）;當x2時，xy,點的個數(shù)為717（個），則共有14個點，故選B。4 (2013山東)用0,1，,9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A243 B252 C261 D279答案B解析0，1，2，,9共能組成91010900（個）三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有998648（個)有重復數(shù)字的三位數(shù)有900648252（個）5 (2013四川)從1，3，5,7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b,共可得到lg alg b的不
18、同值的個數(shù)是 （)A9 B10 C18 D20答案C解析由于lg alg blg(a0，b0），從1,3，5,7,9中任取兩個作為有A20種,又與相同,與相同,lg alg b的不同值的個數(shù)有A220218，選C.6 一個乒乓球隊里有男隊員5名,女隊員4名，從中選取男、女隊員各一名組成混合雙打，共有_種不同的選法答案20解析先選男隊員，有5種選法，再選女隊員有4種選法,由分步乘法計數(shù)原理知共有5420（種)不同的選法7 某次活動中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為_（用數(shù)字作答)答案7 200解析其中最先選出的一個人有
19、30種方法,此時不能再從這個人所在的行和列上選人，還剩一個5行4列的隊形，故選第二個人有20種方法,此時不能再從該人所在的行和列上選人,還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是3020127 200。8 已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標,則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是_答案6解析分兩類:第一類，第一象限內(nèi)的點,有224（個)；第二類,第二象限內(nèi)的點,有122（個）共426（個)9 某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語，3人會
20、日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法?解由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語,2人只會日語第一類：從只會英語的6人中選1人說英語,共有6種方法，則說日語的有213(種），此時共有6318（種）；第二類：不從只會英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會日語的有2種，此時共有122（種）;所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有18220(種）選法10在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復）表示一個信息,不同排列表示不同信息若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為多少？解方法一分0個相同、1個相同、2個相同討論（1）
21、若0個相同，則信息為1001。共1個（2)若1個相同，則信息為0001,1101,1011，1000。共4個(3）若2個相同，又分為以下情況：若位置一與二相同,則信息為0101；若位置一與三相同，則信息為0011;若位置一與四相同，則信息為0000；若位置二與三相同，則信息為1111;若位置二與四相同，則信息為1100；若位置三與四相同，則信息為1010.共6個故與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為14611。方法二若0個相同,共有1個；若1個相同，共有C4（個)；若2個相同，共有C6(個)故共有14611（個)C組1 三邊長均為整數(shù),且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為 (）
22、A24 B26 C36 D37答案C解析設另兩邊長分別為x、y，且不妨設1xy11,要構成三角形，必須xy12。當y取11時，x1，2，3，11,可有11個三角形；當y取10時，x2，3，,10,可有9個三角形；;當y取6時,x只能取6,只有1個三角形所求三角形的個數(shù)為119753136.2 將1，2，3,4,5，6，7,8，9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法種數(shù)為 ()34A。4 B6 C9 D12答案B解析如圖所示，根據(jù)題意，1，2，9三個數(shù)字的位置是確定的，余下的數(shù)中,5只能在a，c位置，8只能在b
23、，d位置，依（a，b，c,d）順序，具體有（5,8,6,7）,(5,6，7，8)，(5,7,6,8），（6，7,5,8）,(6，8,5，7),(7,8,5，6），合計6種。12a34bcd93. 如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A96 B84 C60 D48答案B解析可依次種A、B、C、D四塊，當C與A種同一種花時，有431336(種)種法；當C與A所種花不同時，有432248(種）種法，由分類加法計數(shù)原理,不同的種法種數(shù)為364884。4 直線方程AxBy0，若從0,1，2，3,5，7這6個數(shù)
24、字中任取兩個不同的數(shù)作為A、B的值，則可表示_條不同的直線答案22解析分成三類:A0，B0；A0，B0和A0，B0,前兩類各表示1條直線；第三類先取A有5種取法，再取B有4種取法，故有5420（種)所以可以表示22條不同的直線5. 某電子元件,是由3個電阻組成的回路，其中有4個焊點A、B、C、D，若某個焊點脫落，整個電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊點脫落的可能情況共有_種答案15解析方法一當線路不通時焊點脫落的可能情況共有2222115(種）方法二恰有i個焊點脫落的可能情況為C(i1,2,3,4）種,由分類加法計數(shù)原理,當電路不通時焊點脫落的可能情況共CCCC15(種)6 五名學生報名參
25、加四項體育比賽，每人限報一項，則報名方法的種數(shù)為_五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列），獲得冠軍的可能性有_種答案4554解析報名的方法種數(shù)為4444445（種）獲得冠軍的可能情況有555554（種）7 已知集合Aa1,a2,a3，a4，B0,1，2，3，f是從A到B的映射（1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？(2)若B中的元素0必無原象,這樣的f有多少個？（3）若f滿足f（a1）f（a2)f（a3)f（a4)4，這樣的f又有多少個？解(1）顯然對應是一一對應的，即為a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有432124(
26、個)（2)0必無原象，1，2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法所以不同的f共有3481（個)(3）分為如下四類：第一類:A中每一元素都與1對應，有1種方法；第二類：A中有兩個元素對應1，一個元素對應2,另一個元素與0對應，有CC12（種)方法；第三類，A中有兩個元素對應2，另兩個元素對應0，有CC6(種）方法；第四類，A中有一個元素對應1，一個元素對應3，另兩個元素與0對應，有CC12(種）方法所以不同的f共有11261231(個)歸納總結方法與技巧1分類加法和分步乘法計數(shù)原理,都是關于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題,區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事2混合問題一般是先分類再分步3分類時標準要明確，做到不重復不遺漏4要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律失誤與防范1切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行2分類的關鍵在于要做到“不重不漏”,分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步3確定題目中是否有特殊條件限制
加法原理與乘法原理
