2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章坐標(biāo)系2.1極坐標(biāo)系的概念2.2點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化學(xué)案北師大版.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章坐標(biāo)系2.1極坐標(biāo)系的概念2.2點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化學(xué)案北師大版1極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫作極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫作極軸；選定一個(gè)單位長度和角的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)：對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長，用表示以O(shè)x為始邊，OM為終邊的角度，叫作點(diǎn)M的極徑，叫作點(diǎn)M的極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)就叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑0，極角可以取任意值；點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系：平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對(duì)，當(dāng)kZ時(shí)，(，)，(，2k)，(，(2k1)表示同一個(gè)點(diǎn)，如果規(guī)定>0,0<2或者<，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對(duì)應(yīng)了2點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1)互化的前提條件：極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；極軸與x軸的正半軸重合；兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：將點(diǎn)M的極坐標(biāo)(，)化為直角坐標(biāo)(x，y)的關(guān)系式為.將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(，)的關(guān)系式為.1極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示：區(qū)別：平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景，而極坐標(biāo)以角和距離為背景聯(lián)系：二者都是平面坐標(biāo)系，用來研究平面內(nèi)點(diǎn)與距離等有關(guān)問題2點(diǎn)M(，)關(guān)于極軸、極點(diǎn)以及過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)各為什么？提示：(，2)，(，)，(，)3把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)，表示方法唯一嗎？提示：通常有不同的表示法(極角相差2的整數(shù)倍)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P6由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置例1在極坐標(biāo)系中，畫出點(diǎn)A，B，C，D.思路點(diǎn)撥本題考查極坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)的概念，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想，解答此題需要先建立極坐標(biāo)系，再作出極角的終邊，然后以極點(diǎn)O為圓心，極徑為半徑分別畫弧，從而得到點(diǎn)的位置精解詳析在極坐標(biāo)系中先作出線，再在線上截取|OA|1，這樣可得到點(diǎn)A.同樣可作出點(diǎn)B，C，D，如圖所示由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置的步驟(1)取定極點(diǎn)O；(2)作方向?yàn)樗较蛴业纳渚€Ox為極軸；(3)以極點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以極軸Ox為始邊，通常按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)極軸Ox確定出極角的終邊；(4)以極點(diǎn)O為圓心，以極徑為半徑畫弧，弧與極角終邊的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)的位置1在極坐標(biāo)系中，作出以下各點(diǎn)：A(4,0)，B，C，D；結(jié)合圖形判斷點(diǎn)B，D的位置是否具有對(duì)稱性；并求出B，D關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定0，0,2)解：如圖，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)分別是唯一確定的由圖形知B，D兩點(diǎn)關(guān)于極軸對(duì)稱，且B，D關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，.化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)例2已知A，B，將A，B坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并求A，B兩點(diǎn)間的距離思路點(diǎn)撥本題考查如何將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，解答此題需要利用互化公式先將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式得結(jié)果精解詳析將A，B由極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，對(duì)于點(diǎn)A，有x3cos，y3sin，A.對(duì)于點(diǎn)B，有x1cos，y1sin ，B(，)|AB| 4.1將極坐標(biāo)M(，)化為直角坐標(biāo)(x，y)，只需根據(jù)公式：即可得到；2利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)問題求解本例中如何由極坐標(biāo)直接求A，B兩點(diǎn)間的距離？解：根據(jù)M(1，1)，N(2，2)，則由余弦定理得：|MN|，所以|AB| 4.化直角坐標(biāo)為極坐標(biāo)例3分別將下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(>0，0<2)(1)(1,1)，(2)(，1)思路點(diǎn)撥本題考查如何將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，同時(shí)考查三角函數(shù)中由值求角問題，解答此題利用互化公式即可，但要注意點(diǎn)所在象限精解詳析(1) ，tan 1，0,2)，又點(diǎn)(1,1)在第二象限，.直角坐標(biāo)(1,1)化為極坐標(biāo)為.(2)2，tan ，0,2)，點(diǎn)(，1)在第三象限，.直角坐標(biāo)(，1)化為極坐標(biāo)為.將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(，)時(shí)，運(yùn)用公式即可，在0,2)范圍內(nèi)，由tan (x0)求時(shí)，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征，判斷出點(diǎn)所在象限，如果允許R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為2k，kZ即可2將下列各點(diǎn)由直角坐標(biāo)化為極徑是正值，極角在0到2之間的極坐標(biāo)(1)(3，)；(2)(2，2)解：(1)2，tan ，又點(diǎn)(3，)在第一象限，所以.所以點(diǎn)(3，)的極坐標(biāo)為2，.(2)4，tan ，又點(diǎn)(2，2)在第三象限，所以.所以點(diǎn)(2，2)的極坐標(biāo)為.本課時(shí)常考查極坐標(biāo)的確定及點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，特別是直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)常與三角知識(shí)交匯命題，更成為命題專家的新寵考題印證點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為()A.B.C. D.命題立意本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，同時(shí)還考查了三角知識(shí)及運(yùn)算解題能力自主嘗試2，tan ，又點(diǎn)(1，)在第四象限，所以O(shè)P與x軸所成的角為，故點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)為，排除A，B選項(xiàng)又2，所以極坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在第二象限，故D不正確，而2.答案C對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P8一、選擇題1點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為()A.B.C. D.解析：選B2，tan 1，點(diǎn)P在第二象限，最小正角.2在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是()A. B.C. D.解析：選B與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在直線的對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為(kZ)，這時(shí)只有選項(xiàng)B滿足條件3在極坐標(biāo)系中，若等邊ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A，B，那么可能是頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的是()A. B.C. D.解析：選B如圖，由題設(shè)，可知A，B兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O對(duì)稱，即O是AB的中點(diǎn)又|AB|4，ABC為正三角形，|OC|2，AOC，點(diǎn)C的極角或，即點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或.4若120，12，則點(diǎn)M1(1，1)與點(diǎn)M2(2，2)的位置關(guān)系是()A關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱B關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于過極點(diǎn)垂直于極軸的直線對(duì)稱D兩點(diǎn)重合解析：選A因?yàn)辄c(diǎn)(，)關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為(，)由此可知點(diǎn)(1，1)和(2，2)滿足120，12，是關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱二、填空題5將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP，在OP上取點(diǎn)M，使|OM|2，則>0，0,2)時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為_，它關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(>0，0,2)解析：|OM|2，與OP終邊相同的角為2k(kZ)0,2)，k1，.M.M關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，)答案：6點(diǎn)A在條件：(1)>0，(2，0)下的極坐標(biāo)是_；(2)<0，(2，4)下的極坐標(biāo)是_解析：(1)當(dāng)>0時(shí)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)形式為(kZ)，(2，0)令k1，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，符合題意(2)當(dāng)<0時(shí)，的極坐標(biāo)的一般形式是(kZ)(2，4)，當(dāng)k1時(shí)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，符合題意答案：(2)7直線l過點(diǎn)A，B，則直線l與極軸所在直線的夾角等于_解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角)，然后根據(jù)點(diǎn)A，B的位置分析夾角大小因?yàn)閨AO|BO|7，AOB，所以O(shè)AB.所以ACO.答案：8已知兩點(diǎn)的極坐標(biāo)是A，B，則AB中點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)是_解析：畫出示意圖，A，B與極點(diǎn)O共線，(38)，.故AB中點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為.答案：三、解答題9設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于該拋物線的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球30萬千米時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線對(duì)稱軸的夾角為30，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出彗星此時(shí)的極坐標(biāo)解：如圖所示，建立極坐標(biāo)系，使極點(diǎn)O位于拋物線的焦點(diǎn)處，極軸Ox過拋物線的對(duì)稱軸，由題設(shè)可得下列4種情形：當(dāng)30時(shí)，30(萬千米)；當(dāng)150時(shí)，30(萬千米)；當(dāng)210時(shí)，30(萬千米)；當(dāng)330時(shí)，30(萬千米)彗星此時(shí)的極坐標(biāo)有4種情形：(30,30)，(30,150)，(30,210)，(30,330)10在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)分別為和(3,0)，O為極點(diǎn)(1)求|AB|；(2)求SAOB.解：|AB|.SAOB|OA|OB|sin AOB23sin.11在極坐標(biāo)系中，如果A，B為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)解：法一：對(duì)于A有2，xcos 2cos，ysin 2sin.A(，)對(duì)于B有2，.x2cos，y2sin.B(，)設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由于ABC為等邊三角形，故有|AB|BC|AC|.有(x)2(y)2(x)2(y)2()2()2.有解之得或C點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)或(，)2，tan 1.或.點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或.法二：設(shè)C點(diǎn)的極坐標(biāo)為(，)(0<2，>0)則有|AB|BC|AC|.解之得或點(diǎn)C的極坐標(biāo)為，.