2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 §5 第二課時(shí) 直線與平面的夾角應(yīng)用創(chuàng)新演練 北師大版選修2-1 .doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 5 第二課時(shí) 直線與平面的夾角應(yīng)用創(chuàng)新演練 北師大版選修2-11已知直線l的一個(gè)方向向量為a(1,1,0)，平面的一個(gè)法向量為(1,2，2)，則直線l與平面夾角的余弦值為()A.BC D.解析：cosa，則直線l與平面的夾角的正弦值sin |cosa，|，cos .答案：A2已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，長(zhǎng)方體的高為AA13，則BC1與對(duì)角面BB1D1D夾角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，AA13，A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)而面BB1D1D的法向量為(4,4,0)，BC1與對(duì)角面BB1D1D所成角的正弦值即為|cos，|.答案：C3.如圖所示，點(diǎn)P是ABC所在平面外的一點(diǎn)，若PA、PB、PC與平面的夾角均相等，則點(diǎn)P在平面上的投影P是ABC的()A內(nèi)心 B外心C重心 D垂心解析：由于PA，PB，PC與平面的夾角均相等，所以這三條由點(diǎn)P出發(fā)的平面ABC的斜線段相等，故它們?cè)谄矫鍭BC內(nèi)的投影PA，PB，PC也都相等，故點(diǎn)P是ABC的外心答案：B4如果一個(gè)正方體的十二條棱所在的直線與一個(gè)平面的夾角都相等，記作，那么sin 的值為()A. B.C. D1解析：由于兩條平行直線和同一平面的夾角相等，則在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1BC1滿足和十二條棱所在的直線夾角相等，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則可得(1,1,0)，(0,1,1)平面BA1C1的一個(gè)法向量n(1，1,1)又(0,0,1)則sin|cos，n|.答案：B5正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值是_解析：如圖，以DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易證是平面A1BD的一個(gè)法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1與平面A1BD夾角的正弦值為.答案：6.如圖所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC夾角的正弦值為_解析：不妨設(shè)正三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，則(，2)，(，1,2)，設(shè)平面B1DC的法向量為n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.答案：7如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)求直線AD和平面ABC1夾角的正弦值解：如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)AA1，則AB2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知(，1,0)，(0,2，)，.設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則有解得xy，zy.故可取n(1，)所以cosn，.即直線AD和平面ABC1夾角的正弦值為.8.如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，點(diǎn)D在棱PB上(1)求證：BC平面PAC；(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC夾角的余弦值解：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PAa，由已知可得A(0,0,0)，B，C，P(0,0，a)(1)證明：(0,0，a)，(a,0,0)，0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D為PB的中點(diǎn)，D，又由(1)知，BC平面PAC，(a,0,0)是平面PAC的一個(gè)法向量cos，設(shè)AD與平面PAC的夾角為，則sin ，cos .AD與平面PAC夾角的余弦值為.