行程問題之環(huán)形跑道

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,行程問題,之,環(huán)形跑道,環(huán)形道路上的行程問題本質(zhì)上講就是,追及問題或相遇問題,。當(dāng)二人或二物,同時,運動時就是追及問題，追及距離是二人,初始距離及環(huán)形道路之長的倍數(shù)之和,；當(dāng)二人或二物,反向,運動時就是相遇問題，相遇距離是二人,從出發(fā)到相遇所行路程和,。,環(huán)形路上的行程問題,追及問題,相差路程,速度之差,=,追上時間,追上時間,速度之差,=,相差路程,相差路程,追上時間,=,速度之差,相遇問題,速度之和,相遇時間,=,相遇路程（路程之和）,相遇路程,相遇時間,=,速度之和,相遇路程,速度之和,=,相遇時間,解決問題專項訓(xùn)練,1.,甲乙兩人在,400,米的環(huán)形跑道上跑步，兩人朝相反的方向跑。兩人第一次和第二次相遇間隔,40,秒，已知甲每秒跑,6,米，乙每秒跑多少米？,甲乙兩人從第一次到第二次相遇共走：,400,米,40040=10,（米,/,秒）,10,6=4,（米,/,秒）,答：乙每秒跑,4,米。,復(fù)習(xí)：,2.,甲乙兩人同時從,A,點反向出發(fā)，沿,400,米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走,80,米，乙每分鐘走,50,米，這兩人至少用多少分鐘再在,A,點相遇？,甲走一圈的時間：,40080=5,（分）,乙走一圈的時間：,40050=8,（分）,因為,5,和,8,的最小公倍數(shù)是,40.,所以兩人至少用,40,分鐘再在,A,點相遇。,3.,如圖，在一圓形跑道上。小明從,A,點出發(fā)，小強(qiáng)從,B,點同時出發(fā)，相向行走。,6,分鐘后，小明與小強(qiáng)相遇，再過,4,分鐘，小明到達(dá),B,點，又再過,8,分鐘，小明與小強(qiáng)再次相遇。問小明環(huán)形一周要多少時間？,分析：,小明走,4,分鐘的路程相當(dāng)于小強(qiáng)走,6,分鐘的路程。,從第一次相遇到第二次相遇小明走了：,4+8=12,（分）,小明走,12,分鐘，小強(qiáng)同樣也走,12,分鐘，但小強(qiáng)走,12,分鐘的路程，小明只需走,8,分鐘。,所以小明走一周要：,12+8=20,（分鐘）,經(jīng)典題目訓(xùn)練,1.,甲、乙兩運動員在周長為,400,米環(huán)形跑道上同向競走，已知乙的平均速度是每分鐘,80,米，甲的平均速度是乙的,1.25,倍，甲在乙前面,100,米處。問幾分鐘后，甲第,1,次追上乙？,乙,甲,甲的速度：,801.25=100,米,/,分,（,400,100,）,（,100,80,）,=15,（分）,答：,15,分鐘后，甲第一次追上乙。,同一點出發(fā)，,距離差,=,跑道長,2,如圖，兩名運動員在沿湖的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑。甲每分鐘跑,250,米，乙每分鐘跑,200,米。兩人,同時,同地,同向,出發(fā)，,45,分鐘后甲追上了乙。如果兩人同時同地反向而跑，經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇？,250,分,乙,甲,乙,甲,200,分,250,分,200,分,（,1,）,（,2,）,追上時間,速度之差,=,相差路程,（跑道長）,跑道長：,45,（,250,200,）,=2250,（米）,相遇路程,速度之和,=,相遇時間,相遇時間：,2250,（,250+200,）,=5,（分鐘）,答：經(jīng)過,5,分鐘兩人相遇。,同一點出發(fā)，,距離差,=,跑道長,3.,甲乙從,360,米的環(huán)形跑道上的同一地點同向跑步。甲每分鐘跑,305,米，乙每分鐘跑,275,米。兩人起跑后，第一次相遇在離起點多少米處？,360,（,305,275,）,=12,（分）,甲：,30512=3660,（米）,共跑的圈數(shù)：,3660360=10,（圈）,60,（米）,答：第一次相遇在離起點,60,米處。,4,下圖是一個圓形中央花園，,A,、,B,是直徑的兩端。小軍在,A,點，小勇在,B,點，同時出發(fā)相向而行。他倆第,1,次在,C,點相遇，,C,點離,A,有,50,米；第,2,次在,D,點相遇，,D,離,B,有,30,米。問這個花園一周長多少米？,B,A,C,D,小軍,小勇,分析：,第,1,次相遇兩人合起來走了半周長，從,C,點開始到,D,點相遇兩人共走了一周長，兩次共走了一周半。,小軍：,A C D,走了,50,米的,3,倍。,503=150,（米）,半周：,150,BD(30,米,),周長：（,150,30,）,2=240,（米）,答：這個花園一周長,240,米。,5,已知等邊三角形,ABC,的周長為,360,米，甲從,A,點出發(fā)，按逆時針方向前進(jìn)，每分鐘走,55,米，乙從,BC,邊上,D,點（距,C,點,30,米）出發(fā)，按順時針方向前進(jìn)，每分鐘走,50,米。兩人同時出發(fā)，幾分鐘相遇？當(dāng)乙到達(dá),A,點時，甲在哪條邊上，離,C,點多遠(yuǎn)？,A,B,C,D,30,乙,甲,甲乙兩人的相遇時間：,乙從,D,到,A,用的時間：,（,36032,30,）,（,55+50,）,=2,分,21050=4.2(,分,),乙到,A,點時甲走的路程：,554.2=231(,米,),這時甲在,BC,邊上，離,C,點的距離：,36032,231=9(,米,),90m,6,如圖，一個邊長為,100,米的正方形跑道。甲從,A,點出發(fā)，乙從,C,點出發(fā)都逆時針同時起跑，甲的速度每秒,7,米，乙的速度每秒,5,米。他們拐彎處都要停留,5,秒，當(dāng)甲第一次追上乙時，乙跑了多少米？,乙,甲,A,D,B,C,100,米,100,米,7,米,/,秒,5,米,/,秒,分析：,甲乙相距,200,米（相差距離）。且甲第一次追及乙要多拐兩個彎。即要多休息,5+5=10,秒鐘。,甲走的路程乙走到路程,=200,米,解：設(shè)甲純跑步時間為,x,秒。則乙跑步的時間為,x+10,秒。,7x,5,（,x+10,）,=200,x=125,甲跑的路程是：,1257=875,（米）,當(dāng)甲跑的,800,米時用時：,8007+57149.28,（秒）又離開,A,點。,而乙到達(dá),A,點再離開時用時：,6005+56=150,（秒）,因此：從起跑到,149.28,秒至,150,秒的間隔內(nèi)甲乙都在,A,點。,所以：甲第一次追上乙，此時乙跑了,600,米。,7,一個圓的周長為,1.44,米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)，沿圓周相向爬行。,1,分鐘后它們都調(diào)頭而行，經(jīng)過,3,分鐘，它們又調(diào)頭而行，依次按照,1,、,3,、,5,、,7,、,（連續(xù)奇數(shù)）分鐘調(diào)頭爬行。這兩只螞蟻每分鐘分別爬行,5.5,厘米和,3.5,厘米，那么，經(jīng)過多少時間，它們初次相遇？再次相遇需要多少時間？,A,B,分析：,半圓的周長：,1.442=0.72,米,=72,厘米,折返情況如下表：,如果不折返：,72,（,5.5+3.5,）,=8,分鐘,經(jīng)過時間（分）,在上半圓爬行時間,在下半圓爬行時間,1,3,5,7,9,11,13,15,1,2,3,4,5,6,7,8,所以在,15,分鐘的那次爬行中，兩只螞蟻在下半圓爬行剛好都是,8,分鐘。,則它們從出發(fā)到初次相遇經(jīng)過的時間是：,1+3+5+7+9+11+13+15=64,分鐘,第一次相遇在下半圓，折返向上半圓爬去，須爬行,17,分鐘。去掉在下半圓的,8,分鐘，在上半圓須爬行,17,8=9,分鐘。但在上半圓爬行,8,分鐘就會相遇，因此總時間用去了,8+8=16,分鐘。,即：在第一次,64,分鐘相遇后再過,16,分鐘第二次相遇。,（相遇位置在上半圓）,經(jīng)過時間（分）,在上半圓爬行時間,在下半圓爬行時間,16,1,3,5,7,9,11,13,15,1,2,3,4,5,6,7,8,8,8.,三個環(huán)形跑道相切排列，每個環(huán)形跑道的周長均為,210,厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從,A,、,B,兩地按箭頭所示的方向出發(fā)，甲爬蟲繞,1,、,2,號環(huán)形跑道作“,8”,字形循環(huán)運動，乙爬蟲繞,3,、,2,號環(huán)形跑道作“,8”,字形循環(huán)運動，甲、乙兩只爬蟲的速度分別是每分鐘,20,、,15,厘米。問甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米？,A,C,B,1,2,3,D,分析：,甲乙爬蟲第一次相遇時，它們位于,2,號環(huán)形道的上方。它們共爬行了,3,個“半環(huán)形”。,第二次相遇時它們共爬行了,5,個“半環(huán)形”。,則相遇時間是：,210,2,5,（,20+15,）,=15,（分）,即：甲爬蟲爬行了：,2015=300,（米）,9,.,甲用,40,秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，乙同時反方向跑，每隔,15,秒與甲相遇一次。問乙跑完一圈用多少秒？,解：設(shè)乙跑完一圈用,x,秒。,答：乙跑完一圈用,24,秒。,1,15,1,40,x,1,+,=,X=24,1.,有一條長,500,米的環(huán)形跑道。甲乙兩人同時從跑道上某一點出發(fā)，反向而跑，,1,分鐘后相遇；如果兩人同向而跑，則,10,分鐘后相遇，已知甲跑的比乙快，問甲乙兩人每分鐘各跑多少米？,甲乙速度之和：,5001=500,（米,/,分）,甲乙速度之差：,50010=50,（米）,甲：,答：甲每分鐘跑,275,米，乙每分鐘跑,225,米。,（,500+50,）,2=275,（米,/,分）,乙：,500,275=225,（米,/,分）,2.,小明在,360,米長的環(huán)形跑道上跑了一圈。已知他前一半時間每秒跑,5,米，后一半時間每秒跑,4,米，那么小明后一半路程用了多少秒？,解：設(shè)小明跑一圈用,x,秒。,(x2)5+(x2)4=360,X=80,前一半用時：,1805=36,（秒）,后一半用時：,80,36=44,（秒）,答：小明后一半路程用了,44,秒。,3.,繞湖一周是,24,千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)，反向而行，小王以,4,千米,/,時的速度每走,1,小時后休息,5,分鐘；小張以,6,千米,/,時的速度每走,50,分鐘后休息,10,分鐘。問兩人出發(fā)后多少時間第一次相遇？,分析：,假設(shè)小王走了,2,小時,10,分：,42=8,（千米）,小張在這段時間走了：,2,(60,10),10+1=11,（千米）,此時兩人相距：,24,8,11=5,（千米）,則現(xiàn)在相遇時間：,5,（,6+4,）,=0.5,（小時）,=30,分,第一次相遇時間：,2,小時,10,分,+30,分,=2,小時,40,分。,4.,在,400,米環(huán)形跑道上，,A,、,B,兩點相距,100,米。甲乙兩人分別從,A,、,B,兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑,5,米，乙每秒跑,4,米，每人跑,100,米，都要停,10,秒。那么甲追上乙需要多長時間？,分析：,如果不考慮休息時間則甲追上乙需要：,100,（,5-4,）,=100,（秒）,100,秒甲跑了：,5100=500,（米）,甲共休息了：,5-1=4,（次）,410=40,（秒）,100,秒乙跑了：,4100=400,（米）,乙共休息了：,410=40,（秒）,所以甲追上乙需要,100+40=140,秒。,5.,在周長為,200,米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲乙兩人分別以,6,米,/,秒，,5,米,/,秒的速度同時同向出發(fā)，沿跑道行駛。問：,16,分鐘內(nèi)甲追上乙多少次？,甲,乙,分析：,16,分鐘,=960,秒,16,分鐘甲比乙多走：,960,（,6,5,）,=960,米,第一次追上乙只有,100,米。,所以,16,分鐘內(nèi)可以追上：,以后每一次追上要,200,米。,（,960,100,）,200=4,（次）,60,（米）,4+1=5,（次）,6.,如圖：某單位圍墻外面的小路是邊長,300,米的正方形，甲乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發(fā)。已知甲每分鐘走,90,米，乙分鐘走,70,米，問至少經(jīng)過多長時間甲才能看到乙？,甲,乙,分析：,甲追上乙一條邊的時間：,300,（,90,70,）,=15,（分）,15,分鐘甲走了：,9015=1350,（米）,走的邊數(shù)：,1350300=4.5,（條）,15,分鐘乙走了：,7015=1050,（米）,走的邊數(shù)：,1050300=3.5,（條）,兩人相差一條邊的距離,甲只要再走,0.5,條邊就和乙在同一條邊上了。就能看到乙了。,經(jīng)過的時間：,300590=16,分,40,秒。,7.,在一個圓形跑道上，甲從,A,點、乙從,B,點同時出發(fā)，反向而行，,8,分鐘后兩人相遇。再過,6,分