離散型隨機變量及其概率分布市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

,Ch2-,*,2.2,離散型隨機變量及其概率分布,定義,若隨機變量,X,也許取值是有限,個或可列個,則稱,X,為,離散型隨機變量,描述,X,概率特性慣用,概率分布,或,分布律,X,P,或,離散隨機變量及分布律,即,2.2,12,第1頁,第1頁,分布律性質(zhì),非負性,歸一性,X,或,13,第2頁,第2頁,F,(,x,),是分段階梯函數(shù),在,X,也許取,值,x,k,處發(fā)生間斷,間斷點為第一類跳躍間,斷點,在間斷點處有躍度,p,k,.,離散隨機變量及分布函數(shù),其中,.,14,第3頁,第3頁,解,例1,設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng),過 4 盞信號燈,每盞信號燈獨立地,以概率,p,允許汽車通過.,出發(fā)地,甲地,初次停下時已通過信號燈盞數(shù),求,X,概,率分布與,p=,0.4,時分布函數(shù).,令,X,表示,例1,15,第4頁,第4頁,0,1,2,3,4,x,x,k,p,k,0 1 2 3 4,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,16,第5頁,第5頁,0,1,2,3,4,x,F,(,x,),o,o,1,o,o,o,17,第6頁,第6頁,用分布律或分布函數(shù)來計算事件概率,例2,在上例中,分別用分布律與分布函數(shù)計,算,例2,解,或,此式應(yīng)理解為極限,18,第7頁,第7頁,例3,一門大炮對目的進行轟擊,假定此目的,必須被擊中,r,次才干被摧毀.若每次擊中目,標(biāo)概率為,p,(0,p,1),且各次轟擊互相獨,立,一次次地轟擊直到摧毀目的為止.求所需,轟擊次數(shù),X,概率分布.,解,P,(,X,=,k,)=,P,(,前,k,1,次擊中,r,1,次，,第,k,次擊中目的),例3,帕斯卡,分 布,19,第8頁,第8頁,注,利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)性質(zhì),當(dāng),20,第9頁,第9頁,歸納地,令,21,第10頁,第10頁,作業(yè),P82,習(xí)題二,2 4,習(xí)題,5 6,22,第11頁,第11頁,(1),0 1 分布,是否超標(biāo)等等.,常見離散,r.v.,分布,凡試驗只有兩個結(jié)果,慣用0 1,分布描述,如產(chǎn)品是否合格、人,口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗,X=x,k,1 0,P,k,p,1,-p,0,p,1,應(yīng)用,場合,或,23,第12頁,第12頁,(2),二項分布,n,重,Bernoulli,試驗中,X,是事件,A,在,n,次試,驗中發(fā)生次數(shù),P,(,A,)=,p,若,則稱,X,服從參數(shù)為,n,p,二項分布,，記作,01 分布是,n,=1,二項分布,24,第13頁,第13頁,二項分布取值情況,設(shè),.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000,0 1 2 3 4 5 6 7 8,0,.,273,由圖表可見,當(dāng) 時，,分布取得最大值,此時 稱為最也許成功次數(shù),x,P,0,1,2,3,4,5,6,7,8,25,第14頁,第14頁,26,第15頁,第15頁,設(shè),.01 .06.14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .001,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20,x,P,1,3,5,7,9,0,2,4,6,8,10,20,由圖表可見,當(dāng) 時，,分布取得最大值,0.22,27,第16頁,第16頁,28,第17頁,第17頁,二項分布中最也許出現(xiàn)次數(shù)定義與推導(dǎo),則稱 為最也許出現(xiàn)次數(shù),29,第18頁,第18頁,當(dāng)(,n,+1),p=,整數(shù)時,在,k,=,(,n,+1),p,與,(,n,+1),p,1,處概率取得最大值,對固定,n,、,p,P,(,X,=,k,),取值呈不 對稱分布,固定,p,伴隨,n,增大，其取值分布,趨于對稱,當(dāng)(,n,+1),p,整數(shù)時,在,k,=,(,n,+1),p,處概率取得最大值,30,第19頁,第19頁,例4,獨立射擊5000次,命中率為0.001,例4,解,(1),k,=,(,n,+1),p,=,(5000,+1)0.001=5,求 (1)最也許命中次數(shù)及相應(yīng)概率；,(2)命中次數(shù)不少于1 次概率.,31,第20頁,第20頁,(2)令,X,表示命中次數(shù),則,X,B(5000,0.001),小概率事件雖不易發(fā)生，但重,復(fù)次數(shù)多了，就成大約率事件,.,本例,啟示,32,第21頁,第21頁,由此可見日常生活中“提升警惕,防火,由于時間無限,自然界發(fā)生地震、海,嘯、空難、泥石流等都是必定，早晚,同樣,人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕,癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正常,現(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開而,防盜”主要性,.,事，不用奇怪，不用驚恐,.,跳物理樓(交大閔行校區(qū)最高樓,),自殺,.,啟示,33,第22頁,第22頁,則對固定,k,設(shè),Possion,定理,Poisson,定理闡明若,X B,(,n,p,),則當(dāng),n,較大，,p,較小,而 適中,則能夠用近似公式,問題,如何計算？,34,第23頁,第23頁,證,記,35,第24頁,第24頁,類似地,從裝有,a,個白球，,b,個紅球袋中,不放回地任取,n,個球,其中恰有,k,個白球,概率為,當(dāng),時，,對每個,n,有,結(jié) 論,超幾何分布極限分布是二項分布,二項分布極限分布是,Poisson,分布,36,第25頁,第25頁,解,令,X,表示命中次數(shù),則,令,此結(jié)果也可直接查,P.378,附表2 泊松,分布表得到，它與用二項分布算得結(jié)果,0.9934僅相差,萬,分之一,.,利用,Poisson,定理再求,例4,(2),X,B(5000,0.001),37,第26頁,第26頁,例5,某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品,裝箱,若要以不小于 90%概率確保每箱,中至少有 100 個合格品,則每箱至少應(yīng)裝,解,設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+,n,個,每箱不,合格品個數(shù)為,X,則,X,B(100+,n,0.03),由題意,3,(100+,n,)0.03=3+0.03,n,取 =3,多少個產(chǎn)品？,例5,38,第27頁,第27頁,查,Poisson,分布表,=3,得,n,+1=6,n,=5,故每箱至少應(yīng)裝105個產(chǎn)品,才干符合要求,.,應(yīng)用,Poisson,定理,39,第28頁,第28頁,在實際計算中,當(dāng),n,20,p,0.05,時,可用上,述公式近似計算;而當(dāng),n,100,np,10,時,精度更加好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,按二項分布,按,Possion,公式,k,n=,10,p=,0.1,n=,20,p=,0.05,n=,40,p=,0.025,n=,100,p=,0.01,=,np=,1,40,第29頁,第29頁,在,Poisson,定理中，,由此產(chǎn)生了一個離散型隨機變量概率分布,Poisson,分布,41,第30頁,第30頁,(3),Poisson,分布,若,其中,是常數(shù)，則稱,X,服從參數(shù)為,Poisson,分布,.,或,記作,42,第31頁,第31頁,在某個時段內(nèi)：,大賣場用戶數(shù)；,某地域撥錯號電話呼喚次數(shù)；,市級醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地域發(fā)生交通事故次數(shù).,一個容器中細菌數(shù)；,一本書一頁中印刷錯誤數(shù)；,一匹布上疵點個數(shù)；,應(yīng),用,場,合,放射性物質(zhì)發(fā)出 粒子數(shù)；,43,第32頁,第32頁,都能夠看作是源源不斷出現(xiàn)隨機,質(zhì)點流,若它們滿足一定條件,則稱為,Poisson,流,在 長為,t,時間內(nèi)出現(xiàn)質(zhì),點數(shù),X,t,P,(,t,),44,第33頁,第33頁,例6,設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機變,量,X,例6,設(shè)各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是,互相獨立.,已知,X P,(,)，,且每個蟲卵發(fā)育,成幼蟲概率為,p,.,求一昆蟲所生蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù),Y,概率分布.,45,第34頁,第34頁,解,昆蟲,X,個蟲卵,Y,個幼蟲,已知,由全概率公式,46,第35頁,第35頁,故,47,第36頁,第36頁,作業(yè),P82,習(xí)題二,8 (1),12,14,15,習(xí)題,48,第37頁,第37頁,每七天一題5(1),自動生產(chǎn)線調(diào)整以后出,現(xiàn)廢品概率為,p,當(dāng)生產(chǎn),過程中出現(xiàn)廢品時馬上重新,進行調(diào)整,求在兩次調(diào)整之,間合格產(chǎn)品數(shù)分布.,問 題,第5周,49,第38頁,第38頁,5,(2),已知運載火箭在飛行中進入其儀,器艙宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為 2 泊,松分布,.,而進入儀器艙粒子隨機落,到儀器主要部位概率為 0.1,求,落到,儀器主要部位,粒子數(shù),概率分布,.,第五周,問題,50,第39頁,第39頁,Blaise Pascal,1623-1662,帕斯卡,法國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,思想家,帕斯卡,51,第40頁,第40頁,帕斯卡四歲喪母,在父親精心培養(yǎng),下,16歲時發(fā)覺帕斯卡六邊形定理,寫成,圓錐曲線論,由此定理導(dǎo)出400余條,推論,這是古希臘阿波羅尼奧斯以來圓,錐曲線論最大進步.,帕斯卡簡介,1642年創(chuàng)造世界上第一臺機械加法,計算機帕斯卡計算器.,52,第41頁,第41頁,他應(yīng)用此辦法處理了擺線問題.,1654年研究二項系數(shù)性質(zhì),寫出,論算術(shù)三角形一文,還進一步討論,不可分原理,這事實上相稱于已知道,1647年他發(fā)覺了流體靜力學(xué)帕斯卡原理,.,53,第42頁,第42頁,三十歲時他曾研究過賭博問題,對早期概率論發(fā)展頗有影響.,1658年完畢了擺線論,這給,G.W.,萊布尼茨以很大啟發(fā),促使了微,積分建立.,在離散型隨機變量分布中有個,以帕斯卡名字命名分布，它應(yīng)用于,重復(fù)獨立試驗中，事件發(fā)生 次場,54,第43頁,第43頁,帕斯卡還寫過不少文學(xué)著作.,1654年他進入修道院,獻身于哲,合.而有名幾何分布正是其,時特例.,學(xué)和宗教,.,55,第44頁,第44頁,解,(1)設(shè) 需要配備,N,個維修工人,設(shè),X,為90 臺,設(shè)備中發(fā)生故障臺數(shù)，則,X B,(90,0.01),自學(xué),（詳解見教材,P.61,例6),設(shè)同類型設(shè)備90臺，每臺工作互相獨立，,每臺設(shè)備發(fā)生故障概率都是 0.01,.,在通常,情況下，一臺設(shè)備發(fā)生故障可由一個人獨立,維修，每人同時也只能維修一臺設(shè)備,.,問至少要配備多少維修工人，才干確保當(dāng)設(shè),備發(fā)生故障時不能及時維修概率小于0.01?,(2),問3個人共同負責(zé)90臺還是3個人各自獨立負,責(zé)30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修概率低？,附例,附例,56,第45頁,第45頁,令,則,查附表2得,N=,4,57,第46頁,第46頁,三個人共同負責(zé)90臺設(shè)備發(fā)生故障不能,及時維修概率為,58,第47頁,第47頁,設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障臺數(shù)為,Y,B,(30,0.01),設(shè)每個人獨立負責(zé)30臺設(shè)備，第,i,個人負責(zé),30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件,A,i,則,三個人各獨立負責(zé)30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時,維修為事件,故,三個人共同負責(zé)90 臺設(shè)備比各自負責(zé)好！,59,第48頁,第48頁,