線性代數(shù)課件：第1章 行列式（Determinant）

線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 線性代數(shù)線性代數(shù)課程基本要求課程基本要求u線線性性代代數(shù)數(shù)的的先先修修課課為為高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)，是是高高等等院院校校各各專專業(yè)業(yè)的的重重要要基基礎(chǔ)礎(chǔ)課課，同同時時也也是是研研究究生生入入學(xué)學(xué)考考試試數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)科科目目的的基基本本內(nèi)內(nèi)容容，因因此此學(xué)學(xué)好好線線性性代代數(shù)數(shù)課課程程非非常常重重要要.本本課課程程要要求求各各位位同同學(xué)學(xué)理理解解各個定義之間的內(nèi)在邏輯，掌握相關(guān)的運算技能各個定義之間的內(nèi)在邏輯，掌握相關(guān)的運算技能.u希望各位同學(xué)能夠按時上課，認(rèn)真并及時完成作業(yè)希望各位同學(xué)能夠按時上課，認(rèn)真并及時完成作業(yè).u平時成績占期末考試的平時成績占期末考試的20%20%，分為，分為考勤成績考勤成績(40(40分分)；作作業(yè)業(yè)成成績績(40(40分分，通通常常每每位位同同學(xué)學(xué)有有7 7次次成成績績，其其中中作作業(yè)業(yè)成成績績5 5次次，小小測測試試以以及及提提問問成成績績2 2次次)；附附加加成成績績(20(20分分，包包括括小小論論文、課前思考題解答、教學(xué)建議、教材中存在的問題等文、課前思考題解答、教學(xué)建議、教材中存在的問題等).).附附附附1 1：作業(yè)成績標(biāo)準(zhǔn)：作業(yè)成績標(biāo)準(zhǔn)：作業(yè)成績標(biāo)準(zhǔn)：作業(yè)成績標(biāo)準(zhǔn)A+:95-100分分A :90-95 分分A-:85-90 分分B+:80-85 分分B :75-80 分分B-:70-75 分分C+:65-70 分分C :60-65 分分C-:55-60 分分D :55分以下分以下附附2：關(guān)于作業(yè)問題關(guān)于作業(yè)問題1 1要求使用作業(yè)紙要求使用作業(yè)紙要求使用作業(yè)紙要求使用作業(yè)紙2 2每周周一上交作業(yè)，并注意以下問題：每周周一上交作業(yè)，并注意以下問題：每周周一上交作業(yè)，并注意以下問題：每周周一上交作業(yè)，并注意以下問題：第第第第一一一一次次次次作作作作業(yè)業(yè)業(yè)業(yè)上上上上交交交交后后后后，每每每每個個個個同同同同學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)會會會會分分分分配配配配給給給給一一一一個個個個序序序序號號號號.隨隨隨隨后后后后，單單單單周周周周批批批批改改改改序序序序號號號號在在在在1-151-151-151-15之之之之間間間間同同同同學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)的的的的作作作作業(yè)業(yè)業(yè)業(yè)，序序序序號號號號為為為為16161616及及及及以以以以上上上上同同同同學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)的的的的作作作作業(yè)于雙周批改業(yè)于雙周批改業(yè)于雙周批改業(yè)于雙周批改.作業(yè)首頁左上角寫清楚個人的序號；作業(yè)首頁左上角寫清楚個人的序號；作業(yè)首頁左上角寫清楚個人的序號；作業(yè)首頁左上角寫清楚個人的序號；辛辛辛辛苦苦苦苦課課課課代代代代表表表表同同同同學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)，負負負負責(zé)責(zé)責(zé)責(zé)將將將將收收收收齊齊齊齊后后后后的的的的作作作作業(yè)業(yè)業(yè)業(yè)按按按按從從從從小小小小到到到到大大大大的的的的學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)號號號號順序排序順序排序順序排序順序排序.輔助教材推薦輔助教材推薦1 1：David C.Lay,Linear Algebra and its applications,機機械工業(yè)出版社械工業(yè)出版社.輔助教材推薦輔助教材推薦2 2：同同同同濟濟濟濟大大大大學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)系系系系,工工工工程程程程數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)線線線線性性性性代代代代數(shù)數(shù)數(shù)數(shù),高高高高等等等等教教教教育育育育出出出出版版版版社社社社.輔助教材推薦輔助教材推薦3 3：梁保松梁保松梁保松梁保松,蘇本堂，線性代數(shù)及蘇本堂，線性代數(shù)及蘇本堂，線性代數(shù)及蘇本堂，線性代數(shù)及其應(yīng)用其應(yīng)用其應(yīng)用其應(yīng)用,中國農(nóng)業(yè)出版社中國農(nóng)業(yè)出版社中國農(nóng)業(yè)出版社中國農(nóng)業(yè)出版社.輔助教材推薦輔助教材推薦4 4：高橋信，漫畫線性代數(shù)高橋信，漫畫線性代數(shù)高橋信，漫畫線性代數(shù)高橋信，漫畫線性代數(shù),科學(xué)出版社科學(xué)出版社科學(xué)出版社科學(xué)出版社.歷史上歷史上,行列式因線性方程組的求解而提出行列式因線性方程組的求解而提出 G.W.Leibniz德德(1646.7.11716.11.14)1646.7.11716.11.14)S.Takakazu日日(16421708.10.24)(16421708.10.24)第第1 1章章 行列式行列式（Determinant）1.1 1.1 1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式二階與三階行列式二階與三階行列式 考慮用消元法解二元一次方程組考慮用消元法解二元一次方程組 (a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21 (a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第第1 1節(jié)節(jié) 行列式的概念行列式的概念用用a22和和a12分別乘以兩個方程的兩端，然后兩個方程相減，消去分別乘以兩個方程的兩端，然后兩個方程相減，消去x2得得 同理，消去同理，消去x1得得二階行列式二階行列式二階行列式二階行列式 當(dāng)時，方程組的解為時，方程組的解為當(dāng)時，方程組的解為時，方程組的解為為便于敘述和記憶，為便于敘述和記憶，引入符號引入符號D=D1=稱稱D為二階行列式二階行列式.按照二階行列式定義可得按照二階行列式定義可得D2=于是，當(dāng)于是，當(dāng)D00時，方程組的解為時，方程組的解為j=1,2,3.類似引入符號，類似引入符號，類似引入符號，類似引入符號，其中其中其中其中D D1,1,1,1,D D2,2,2,2,D D3 3 3 3分別為將分別為將分別為將分別為將D D的第的第的第的第1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3列換為常數(shù)項后得到的行列式列換為常數(shù)項后得到的行列式列換為常數(shù)項后得到的行列式列換為常數(shù)項后得到的行列式.三階行列式三階行列式三階行列式三階行列式 求解三元方程組求解三元方程組求解三元方程組求解三元方程組稱稱稱稱D D為為為為三階行列式三階行列式三階行列式三階行列式.25431 是一個是一個5級排列級排列.如，如，3421 是是4級排列；級排列；例例例例1 1寫出所有的寫出所有的寫出所有的寫出所有的3 3級全排列級全排列級全排列級全排列.解：解：所有的所有的3級排列為：級排列為：321.312，231，213，132，123，1.2 排列排列定定定定義義義義：n n 個個個個自自自自然然然然數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)1,2,1,2,n n 按按按按一一一一定定定定的的的的次次次次序序序序排排排排成成成成的的的的一一一一個個個個無無無無重重重重復(fù)復(fù)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)字字字字的的的的有有有有序序序序數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)組組組組稱稱稱稱為為為為一一一一個個個個 n n 級級級級排排排排列列列列，記記記記為為為為i i1 1i i2 2iin n.顯顯顯顯然然然然，n n 級排列共有個級排列共有個級排列共有個級排列共有個n n!.其中，排列其中，排列其中，排列其中，排列1212n n稱為稱為稱為稱為自然排列自然排列自然排列自然排列.3 4 2 1逆序數(shù)的計算方法逆序數(shù)的計算方法(向前看法向前看法)43 2 1從而得從而得(3421)=5=5.5逆序及逆序數(shù)逆序及逆序數(shù)定定定定義義義義 在在在在一一一一個個個個n n級級級級排排排排列列列列i i1 1i i2 2 i in n中中中中，若若若若一一一一個個個個較較較較大大大大的的的的數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)排排排排在在在在一一一一個個個個較較較較小小小小數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)的的的的前前前前面面面面，則則則則稱稱稱稱這這這這兩兩兩兩個個個個數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)構(gòu)構(gòu)成成成成一一一一個個個個逆逆逆逆序序序序.一一一一個個個個排排排排列列列列中中中中逆逆逆逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記為序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記為序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記為序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記為(i i1 1i i2 2 i in n).奇排列與偶排列奇排列與偶排列逆序數(shù)是奇數(shù)的排列，稱為逆序數(shù)是奇數(shù)的排列，稱為奇排列奇排列.逆序數(shù)是偶數(shù)或逆序數(shù)是偶數(shù)或0的排列，稱為的排列，稱為偶排列偶排列.如如 3421是奇排列，是奇排列，1234是偶排列是偶排列，因為因為(3421)=5=5.因為因為(1234)=0=0.逆序及逆序數(shù)逆序及逆序數(shù)定定定定義義義義 在在在在一一一一個個個個n n級級級級排排排排列列列列i i1 1i i2 2 i in n中中中中，若若若若一一一一個個個個較較較較大大大大的的的的數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)排排排排在在在在一一一一個個個個較較較較小小小小數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)的的的的前前前前面面面面，則則則則稱稱稱稱這這這這兩兩兩兩個個個個數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)構(gòu)構(gòu)成成成成一一一一個個個個逆逆逆逆序序序序.一一一一個個個個排排排排列列列列中中中中逆逆逆逆序的總數(shù)，稱為這個排列的序的總數(shù)，稱為這個排列的序的總數(shù)，稱為這個排列的序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)逆序數(shù)逆序數(shù)逆序數(shù)，記為，記為，記為，記為(i i1 1i i2 2 i in n).定義定義定義定義 符號符號符號符號稱為稱為稱為稱為n n階行列式階行列式階行列式階行列式，它表示代數(shù)和它表示代數(shù)和 其中和式中的排列其中和式中的排列其中和式中的排列其中和式中的排列 j j1 1 j j2 2 j jn n要取遍所有要取遍所有要取遍所有要取遍所有n n級排列級排列級排列級排列.元素元素元素元素a ai ji j列標(biāo)列標(biāo)列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)1.3 n 階行列式階行列式n 階行列式定義階行列式定義a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann (3)n 階行列式共有階行列式共有n!項項.(-1)(j1 j2 jn).之前的符號是之前的符號是n 個元素的乘積個元素的乘積.(1)在行列式中在行列式中,項項是取自不同行不同列的是取自不同行不同列的 行列式有時簡記為行列式有時簡記為|a ij|.一階行列式一階行列式|a|就是就是a.=說明：說明：(2)項項以三階行列式為例以三階行列式為例以三階行列式為例以三階行列式為例 每一項都是三個元素的乘積每一項都是三個元素的乘積每一項都是三個元素的乘積每一項都是三個元素的乘積.每一項的三個元素都位于不同的行和列每一項的三個元素都位于不同的行和列每一項的三個元素都位于不同的行和列每一項的三個元素都位于不同的行和列.行列式的行列式的行列式的行列式的6 6項恰好對應(yīng)于項恰好對應(yīng)于項恰好對應(yīng)于項恰好對應(yīng)于1,2,31,2,3的的的的6 6種排列種排列種排列種排列.各項符號與對應(yīng)的列標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān)各項符號與對應(yīng)的列標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān)各項符號與對應(yīng)的列標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān)各項符號與對應(yīng)的列標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān).a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33j1 j2 j3的逆序數(shù)的逆序數(shù) 對所有不同的三級排列對所有不同的三級排列 j1 j2 j3求和求和 寫出三階行列式的一般形式寫出三階行列式的一般形式 a14a23a31a44a14a23a31a44 a14a23a31a42 a14a23a31a42再如，四階行列式再如，四階行列式再如，四階行列式再如，四階行列式a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 (1)(4312)a14a23a31a42為為為為行列式中的一項行列式中的一項行列式中的一項行列式中的一項.表示的代數(shù)和中有表示的代數(shù)和中有4!=24項項.a14a23a31a42取自不同行不同列取自不同行不同列,的列標(biāo)排列為的列標(biāo)排列為4312不是不是行列式中的一項行列式中的一項.中有兩個取自第四列的元素，中有兩個取自第四列的元素，中有兩個取自第四列的元素，中有兩個取自第四列的元素，所以它所以它(為奇排列為奇排列)，D=行列式計算行列式計算 解：解：解：解：根據(jù)行列式定義根據(jù)行列式定義根據(jù)行列式定義根據(jù)行列式定義例例例例1 1計算計算計算計算2 2 階行列式階行列式階行列式階行列式D D=注：注：注：注：3 3 3 3階行列式的計算類似，略階行列式的計算類似，略階行列式的計算類似，略階行列式的計算類似，略.例例2計算計算 n 階下三角形行列式階下三角形行列式D的值的值其中其中aii 0(i=1,2,n).D=a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann 解：解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D=(-1)(1 2 n)a11a22a33 ann第一行只能取第一行只能取a11，第三行只能取第三行只能取a33，第二行只能取第二行只能取a22，第第 n 行只能取行只能取ann.，這樣這樣不為零不為零的的乘積乘積項只有項只有a11a22a33 ann，所以所以=a11a22a33 ann.例例3計算計算 n 階行列式階行列式D的值的值D D=0 00 00 0b bn nb bn-1n-1*0 00 0*b b1 1*0 0b b2 2*解：解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D=(1)(n n-1 21)b1b2b3 bn第一行只能取第一行只能取b1，第第n-1行只能行只能第二行只能取第二行只能取b2，第第 n 行只能取行只能取bn.，這樣這樣不為零不為零的的乘積乘積項只有項只有b1b2b3 bn，所以所以取取bn-1，下三角形行列式的值：下三角形行列式的值：下三角形行列式的值：下三角形行列式的值：a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann =a11a22a33 ann.上三角形行列式的值：上三角形行列式的值：上三角形行列式的值：上三角形行列式的值：a11000a12a2200a13a23a330 a1na2na3nann =a11a22a33 ann.對角形行列式的值：對角形行列式的值：對角形行列式的值：對角形行列式的值：a11000 0a2200 00a330 000ann =a11a22a33 ann.結(jié)論結(jié)論：作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：ENDEND1 1 1 1計算下列行列式：計算下列行列式：計算下列行列式：計算下列行列式：2 2 2 2求解下列線性方程組：求解下列線性方程組：求解下列線性方程組：求解下列線性方程組：3 3 3 3確定下列排列的逆序數(shù)，并確定排列的奇偶性確定下列排列的逆序數(shù)，并確定排列的奇偶性確定下列排列的逆序數(shù)，并確定排列的奇偶性確定下列排列的逆序數(shù)，并確定排列的奇偶性.(1)1423 (2)25143 (3)6573412(1)1423 (2)25143 (3)6573412