2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷-附答案

2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z2i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為（）ABCD2已知平面向量（1，2），（4，m），且，則向量是（）A（7，34）B（716）C（7，4）D（7，14）3在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b4，c2，C60°，則此三角形的解的情況是（）A有一解B有兩解C無(wú)解D有解但解的個(gè)數(shù)不確定4某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為，則的大小關(guān)系是（注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似替代）（）ABCD5已知某圓錐軸截面的頂角為120°，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2，則該圓錐的底面半徑為（）ABCD6設(shè)點(diǎn)O在ABC內(nèi)部，且有，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，設(shè)ADC與AOC的面積分別為S1、S2，則S1：S2（）A1：2B1：3C3：2D5：37在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）ABCD8三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC，AP3，BC6，則該三棱錐外接球的表面積為（）A45B63C57D84二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9若，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（）A若，則|B若，則C若，則D若|+|，則10已知m、n為兩條不重合的直線，、為兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A若m，n且，則mnB若mn，m，n，則C若mn，n，m，則mD若mn，n，則m11某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為170cm，方差為17cm2；女生身高樣本均值為160cm，方差為30cm2.下列說(shuō)法中正確的是（）A男生樣本容量為30B每個(gè)女生被抽入到樣本的概率均為C所有樣本的均值為166cmD所有樣本的方差為46.2cm212如圖，正方體ABCDA1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，P是A1D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）ABP的最小值為BPA+PC的最小值為C當(dāng)P在直線A1D上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐B1ACP的體積不變D以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面AB1C的交線長(zhǎng)為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分13設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)是3，則數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，2xn+1的平均數(shù)為 14如圖所示是利用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的ABC的直觀圖，已知A'C'y'軸，B'C'x'軸且2A'C'B'C'2，則ABC的周長(zhǎng)為 15正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為BC、CC1的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為 16如圖，ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且滿足（b+c）cosAa（2cosBcosC），bc，設(shè)AOB（0）OA2OB4，則四邊形OACB面積的最大值為 四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，3+，3，2+（1）若B，C，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若|2|2，的夾角是，且，求實(shí)數(shù)的值18已知za+bi（a，bR），z+2i和均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位（）求復(fù)數(shù)z；（）若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABBC，D為AC的中點(diǎn)，AA1AB2，BC3（1）求證：AB1平面BC1D；（2）求三棱柱ABCA1B1C1的表面積20在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin2B+sin2C（sinA+6sinBsinC）sinA（1）求tanA；（2）若，求ABC的面積21某校為了解高一學(xué)生在五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的情況，抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖（1）估計(jì)這100名學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)；（2）估計(jì)這100名學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的上四分位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）22已知在梯形ABCD中，ADBC，ABCBAD，ABBC2AD4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EFBC，AE2，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF（如圖）（1）證明：EF平面ABE；（2）求二面角DBFE的余弦值 參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1【解答】解：（2+i）z2i，|z|故選：C2【解答】解：，（1，2），（4，m），1×42m0，解得m25（1，2）3（4，2）（512，106）（7，16）故選：B3【解答】解：因?yàn)閎4，c2，C60°，由正弦定理得，故sinB1，故B不存在，即三角形無(wú)解故選：C4【解答】選：B5【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，如圖所示，由題意可知，APB120°，ABP30°，又過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2，則，解得l2，在RtPOB中，rlcos30°，所以該圓錐的底面半徑為故選：A6【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)為E，+2（+），2+4，O、D、E三點(diǎn)共線且|2|，S1：S2，故選：C7【解答】解：如圖所示，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，則EFBD，EGAC，F(xiàn)OOG，F(xiàn)EG為異面直線AC與BD所成角設(shè)AB2a，則EGEFa，F(xiàn)Ga，F(xiàn)EG60°，異面直線AC與BD所成角的余弦值為，故選：A8【解答】解：作出ABC的外接圓O1由于PA平面ABC，可將三棱錐PABC中放在圓柱O1O2中，如圖所示：因?yàn)椋烧叶ɡ淼肁BC的外接圓O1的直徑為，又AP3，則三棱錐PABC外接球的直徑為（2R）2|PA|2+（2r）29+4857，故外接球的表面積為S4R257故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分）9【解答】解：對(duì)于A，若，則向量長(zhǎng)度相等，方向相同，故，故A正確；對(duì)于B，若，則，即或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則方向相同或相反，方向相同或相反，即的方向相同或相反，故，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D正確，故選：ACD10【解答】解：對(duì)A，若m，n且，則mn或者m與n相交，或者m與n異面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，若mn，m，則n，又n，所以，正確；對(duì)C，若n，則n，又mn，m，所以m，正確；對(duì)D，若mn，n，則m，又，所以m或m，所以D錯(cuò)誤故選：BC11【解答】解：A：由50×30人，正確；B：由50×人，故每個(gè)女生被抽入到樣本的概率為，錯(cuò)誤；C：所有樣本的均值為166cm，正確；D：男生方差，女生方差，所有樣本的方差+480+12+72046.2，正確故選：ACD12【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)BPA1D時(shí)，BP最小，由于，B到直線A1D的距離，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將平面DCB1A1翻折到平面ADA1上，如圖，連接AC，與A1D的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC取最小值A(chǔ)C，在三角形ADC中，ADC135°，故B正確；對(duì)于C，由正方體的性質(zhì)可得A1DB1C，A1D平面AB1C，A1D平面AB1C，P到平面AB1C的距離為定值，又為定值，則為定值，即三棱錐B1ACP的體積不變，故C正確；對(duì)于D，由于BD1平面AB1C，設(shè)BD1與平面AB1C交于Q點(diǎn)，設(shè)以B為球心，為半徑的球與面AB1C交線上任一點(diǎn)為G，G在以Q為圓心，為半徑的圓上，由于AB1C為正三角形，邊長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓半徑為，故此圓恰好為AB1C的內(nèi)切圓，完全落在面AB1C內(nèi)，交線長(zhǎng)為，故D正確故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13【解答】解：一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)是3，則數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，2xn+1的平均數(shù)為2×3+17故答案為：714【解答】解：先由斜二測(cè)畫法得ACBC，ACBC2，即可求解由題意得，ACBC，且ACBC2，則，則ABC的周長(zhǎng)為故答案為：15【解答】解：如圖，把截面AEF補(bǔ)形為四邊形AEFD1，連接AD1，由正方體可得EFAD1，可得等腰梯形AEFD1為平面AEF截正方體所得的截面圖形，由正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，得AD14，EF2，2，則E到AD1的距離即等腰梯形AEFD1的高為3，所求截面的面積為S（2）×18故答案為：1816【解答】解：由（b+c）cosAa（2cosBcosC）及正弦定理得（sinB+sinC）cosAsinA（2cosBcisC），化簡(jiǎn)得 sinC+sinB2sinA，再用正弦定理得 c+b2a，又bc，所以 abc，即ABC為正三角形，在三角形AOB中|AB|2c2|OA|2+|OB|22|OA|OB|cos16+42×2×4cos2016cos，S四邊形OACBSABC+SAOBc2+×2×4sin（2016cos）+4sin5+4sin4cos5+8sin（），0，sin（），1，S四邊形OACB，8+5，故答案為：8+5四、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17【解答】解：（1）（3）（3+）24，（2+）（3）+（+3），由B，C，D三點(diǎn)共線，根據(jù)共線向量定理的條件可得：k，即24k+（+3），所以解得：1B，C，D三點(diǎn)共線時(shí)實(shí)數(shù)的值為1；（2），0，即（2+）（24）0，4²（8+2）4²8（8+2）×2×1×cos40，解得：418【解答】解：（）za+bi（a，bR），z+2ia+（b+2）i，由題意，可得a2，b2，則z22i；（）2+2i+，由題意，解得2m或1m實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2，）（1，）19【解答】（1）證明：連接B1C，交BC1于點(diǎn)O，連接OD，所以O(shè)是B1C的中點(diǎn)，所以O(shè)DAB1，又因?yàn)锳B1平面BC1D，OD平面BC1D中，所以AB1平面BC1D；（2）解：三棱柱ABCA1B1C1的表面積為S2SABC+2××2×3+2×2+2×3+2×16+220【解答】解：（1）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，因?yàn)閟in2B+sin2C（sinA+6sinBsinC）sinA，所以b2+c2a2+6bcsinA，所以2bccosA6bcsinA，所以；（2）因?yàn)椋?，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得，即c26c+50，解得c1或c5，當(dāng)c1時(shí)，ABC的面積為；當(dāng)c5時(shí)，ABC的面積為21【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可看出最高矩形底邊上的中點(diǎn)值為20，故眾數(shù)是20，由（0.02+0.06+0.075+a+0.025）×41得a0.07，（0.02+0.06）×40.32且（0.02+0.06+0.075）×40.62，中位數(shù)位于1822之間，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，故中位數(shù)是20.4；平均數(shù)為（0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28）×420.32；（2）上四分位數(shù)即為75百分位數(shù)，又（0.02+0.06+0.075）×40.62，（0.02+0.06+0.075+0.07）×40.9，上四分位數(shù)位于2226之間，設(shè)上四分位數(shù)為y，則，得22【解答】（1）證明：在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳BCBAD，故DAAB，BCAB，因?yàn)镋FBC，故EFAB所以在折疊后的幾何體中，有EFAE，EFBE，而AEBEE，故EF平面ABE（2）解：如圖，在平面AEFD中，過(guò)D作DGEF交EF于G在平面DBF中，過(guò)D作DHBF交BF于H，連結(jié)GH因?yàn)槠矫鍭EFD平面EBCF，平面AEFD平面EBCFEF，DG平面AEFD，故DG平面EBCF，因?yàn)锽F平面EBCF，故DGBF，而DGDHD，故BF平面DGH，又GH平面DGH，故GHBF，所以DHG為二面角DBFE的平面角，在平面AEFD中，因?yàn)锳EEF，DGEF，故AEDG，又在直角梯形ABCD中，EFBC且EF（BC+AD）3，故EFAD，故四邊形AEGD為平行四邊形，故DGAE2，GF1，在RtBEF中，tanBFE，因?yàn)锽FE為三角形的內(nèi)角，故sinBFE，故GH1×sinBFE，故tanDHG，因?yàn)镈HG為三角形的內(nèi)角，故cosDHG所以二面角DBFE的平面角的余弦值為