2022-2023學(xué)年安徽省六安市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題1已知，為虛數(shù)單位，則（    ）ABCD【答案】C【分析】由可得，利用復(fù)數(shù)的乘法可化簡(jiǎn)得出復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，則.故選：C.2已知向量，若，則（   ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的規(guī)則求出x，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則求解.【詳解】 ， ；故選：A.3如圖，是的直觀圖，其中，那么是一個(gè)（    ）A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形D無(wú)法確定【答案】A【分析】將直觀圖還原為投影圖，分析幾何圖形的形狀.【詳解】將直觀圖還原，則，所以是正三角形.故選：A.4在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊為，若，則角的大小為（    ）AB或CD【答案】B【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角和性質(zhì)求角的大小.【詳解】由，則，而，故或，顯然，所得角均滿足.故選：B5是體積為的棱柱，則三棱錐的體積是（    ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)等體積法結(jié)合同底等高的棱錐和棱柱體積的關(guān)系進(jìn)行求解【詳解】不妨設(shè)三棱柱的高為，則，故.故選：D6設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（    ）A，則B，則C，則D，則【答案】D【分析】舉例說(shuō)明判斷ABC；利用線面垂直的性質(zhì)判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，在長(zhǎng)方體中，平面為平面，分別為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在長(zhǎng)方體中，平面，平面分別為平面，為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在長(zhǎng)方體中，平面，平面分別為平面，為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，由線面垂直的性質(zhì)知，D正確.故選：D7三棱錐A-BCD中，平面BCD，則該三棱錐的外接球表面積為（    ）ABCD【答案】C【分析】由題可知，可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，求長(zhǎng)方體的外接球的表面積即可.【詳解】由平面BCD，知三棱錐A-BCD可補(bǔ)形為以AD，DC，BD為三條棱的長(zhǎng)方體，如圖所示，三棱錐的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R，則，所以該三棱錐的外接球表面積為.故選：C8如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（    ）ABCD【答案】C【分析】在棱上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接 ，即可得到，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角，求出，再利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】解：如圖，在棱上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接 ，由于分別是棱的中點(diǎn)，所以，故四邊形為平行四邊形，進(jìn)而,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.設(shè)，則，從而，故,故異面直線與所成角的余弦值是.故選：C二、多選題9對(duì)一個(gè)容量為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為，三者關(guān)系不可能是（    ）ABCD【答案】ABC【分析】根據(jù)抽樣的概念，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率是均等的，即可求解.【詳解】在抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為，所以.故選：ABC.10設(shè)平面向量，則（    ）AB可以成為一組基底C與的夾角為銳角D在上的投影向量為【答案】BD【分析】求出，即可判斷A；由共線向量的條件判斷是否共線，即可判斷B；求得，則，即可判斷C；由投影向量的概念求解即可判斷D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，所以不共線，可以成為一組基底，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，所以，則，所以與的夾角為直角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，向量在方向上的投影向量為，故D正確故選：BD.11如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器以BC為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（    ）A有水的部分始終是棱柱B水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變C棱始終與水面平行D當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，不是定值【答案】AC【分析】利用棱柱的幾何特征判斷A；根據(jù)水面矩形變化情況判斷B；利用線面平行的判定判斷C；利用盛水的體積判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，有水部分的幾何體，有兩個(gè)面都垂直于BC，這兩個(gè)面始終平行，而，并且BC始終與水面平行，即有，若點(diǎn)H在棱上，由面面平行的性質(zhì)知，若點(diǎn)H在棱CD上，因此該幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，即該幾何體是棱柱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)樗鏋榫匦?，邊的長(zhǎng)不變，隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化，矩形的面積不是定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭冀K與平行，而始終與水面平行，并且不在水面所在平面內(nèi)，即棱始終與水面平行，C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)在棱上且點(diǎn)在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，有水部分的棱柱的底面為三角形，而水的體積不變，高不變，則底面面積不變，即為定值，D錯(cuò)誤.故選：AC12在長(zhǎng)方體中，若直線與平面所成角為45°，與平面所成角為30°，則（    ）AB直線與所成角的余弦值為C直線與平面所成角為30°D直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【分析】由題意，設(shè)，則，即可判斷A；由可知 或其補(bǔ)角為直線與所成角，利用余弦定理求解可判斷B；由題可知直線與平面所成角為，又，求出可判斷C；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由利用等體積法求出，再利用線面角的定義求解可判斷D【詳解】對(duì)于A：如圖，設(shè)，連接，平面，直線與平面所成角為，則，連接，平面，直線與平面所成角為，則，在中，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：易知，或其補(bǔ)角為直線與所成角，易知，故B正確；對(duì)于C：連接，由平面，可知直線與平面所成角為，又，故C正確；對(duì)于D：易知，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，則，取的中點(diǎn)E，連接BE，由勾股定理可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D錯(cuò)誤故選：BC.三、填空題13化簡(jiǎn)：_.【答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：.14目前，全國(guó)多數(shù)省份已經(jīng)開(kāi)始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門選擇性科目成績(jī)組成.某校高一年級(jí)選擇“物理、化學(xué)、生物”，“物理、化學(xué)、地理”和“歷史、政治、地理”組合的學(xué)生人數(shù)分別是900，540，360.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從上述學(xué)生中選出100位學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則從選擇“物理、化學(xué)、生物”組合的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是_.【答案】50【分析】先求出抽取比例，再根據(jù)分層抽樣計(jì)算選擇“物理、化學(xué)、生物”組合的學(xué)生人數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋赃x擇“物理、化學(xué)、生物”組合的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：5015在中，則_.【答案】【分析】先利用正弦定理化角為邊求出邊，再利用余弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，由余弦定?故答案為：.16正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是內(nèi)不包括邊界的動(dòng)點(diǎn)，若，則線段AP長(zhǎng)度的最小值為_(kāi).【答案】/【分析】根據(jù)平面確定平面，進(jìn)而在上，故當(dāng)時(shí)，最小，計(jì)算線段長(zhǎng)度利用等面積法計(jì)算得到答案.【詳解】與相交于，連接，故平面，故平面，P是內(nèi)不包括邊界的動(dòng)點(diǎn)，故在上，當(dāng)時(shí)，最小中，根據(jù)等面積法：.故答案為：四、解答題17正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為4，高為1，求：(1)求棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高；(2)求棱錐的表面積.【答案】(1)側(cè)棱長(zhǎng)為3，斜高為(2)【分析】（1）設(shè)SO為正四棱錐SABCD的高，則SO1，作OMBC，則M為BC 中點(diǎn)，連接OM，OB，則SOOB，SOOM，由此能求出棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.（2）棱錐的表面積，由此能求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)SO為正四棱錐SABCD的高，則SO1，作OMBC于M，則M為BC 中點(diǎn)，連接OM，OB，則SOOB，SOOM，BC4，BM2，則OM2，OB，在RtSOB中，在RtSOM中，棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，斜高為.（2）棱錐的表面積：.18的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，求：(1)的值；(2)和的面積【答案】(1)(2)，三角形面積為【分析】（1）應(yīng)用余弦定理列方程求值即可；（2）由同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，應(yīng)用正弦定理求，三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）由余弦定理得：，解得（2）由，則，由正弦定理得，又，則，19如圖，在三棱柱中，平面平面.  (1)求證：；(2)點(diǎn)E是線段BC中點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理即可求解；（2）利用三角形的中位線定理及平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫妫?（2）存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，理由如下：取的中點(diǎn)G，連接FG，GC.如圖所示  在中，因?yàn)镕，G分別是，的中點(diǎn)，所以，且.在平行四邊形中，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以，且，所以，且所以平行四邊形FECG是平行四邊形，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?故存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得平面.20在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱，頂點(diǎn)在平面的射影為邊的中點(diǎn).  (1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明線面垂直，再根據(jù)面面垂直判定定理證明面面垂直即可；（2）應(yīng)用等體積方法求解點(diǎn)到平面距離.【詳解】（1）且為的中點(diǎn)，又平面平面，平面.故平面，又平面，平面平面.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為是邊長(zhǎng)為2的正三角形，根據(jù)等體積公式可得，解得-21已知分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求角；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦函數(shù)得到，再利用輔助角公式求解.（2）由的面積為，結(jié)合，得到，再利用余弦定理求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以由正弦定理?因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，所以，?所以，即又，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以.由，所以.由余弦定理得，又，所以.解得.故的周長(zhǎng)為.22如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P、Q分別為棱和中點(diǎn).(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出過(guò)A、P、Q三點(diǎn)的正方體的截面（保留作圖痕跡，畫(huà)出交線，無(wú)需說(shuō)明理由），并求交線所圍成的多邊形周長(zhǎng)；(2)求（1）中的截面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）作出截面求周長(zhǎng)即可.（2）用幾何法找到二面角的平面角，在三角形中求解即可.【詳解】（1）如圖，多邊形AMPQN即為所作截面.因?yàn)镻、Q分別為棱和中點(diǎn)，所以，即，又，所以，則，在中，所以，同理：，又在中，所以截面周長(zhǎng)為.（2）由正方體的性質(zhì)可知只需求截面與平面所成的銳二面角.連接交PQ于E，連接AE，因?yàn)樵谡襟w中，面，面，所以，又易知，所以，又面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又截面與平面的交線為，所以即為所求二面角的平面角，易得，所以在中，所以，即所求二面角的余弦值為.