文科立體幾何線面角二面角專題-帶答案.doc

文科立體幾何線面角二面角專題學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、解答題1如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點（1）證明：PO平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且二面角MPAC為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值2如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點 （1）證明：PO平面ABC； （2）若點M在棱BC上，且MC=2MB，求點C到平面POM的距離3（2018年浙江卷）如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）證明：AB1平面A1B1C1；（）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值4如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，點P，G分別是AA1，B1C1的中點，已知AA1平面ABC，AA1=B1C1=3，A1B1=A1C1=2.（I）求異面直線A1G與AB所成角的余弦值；（II）求證：A1G平面BCC1B1；（III）求直線PC1與平面BCC1B1所成角的正弦值.5如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=PD=AB=1，PB=PC=2，E，F(xiàn)分別是PB，CD的中點.（1）求證ABEF；（2）求二面角B-EF-C的余弦值.6如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，且各棱長均相等.D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點.（1）證明：EF/平面A1CD；（2）證明：平面A1CD平面A1ABB1；（3）求直線EF與直線A1B1所成角的正弦值.7如圖，在四邊形ABCD中，AB/CD，ABD=30°，AB2CD2AD2，DE平面ABCD，EF/BD，且BD2EF（）求證：平面ADE平面BDEF；（）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值8如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PA=AB=BC=3，AD=CD=1，ADC=1200，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PN=14PB.（1）證明：MN/平面PDC；（2）求直線MN與平面PAC所成角的正弦值.9在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，AB/DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=5，（1）求證：平面EBC平面EBD；（2）設(shè)M為線段EC上一點，3EM=EC，求二面角MBDE的平面角的余弦值.10如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為等腰梯形，BC/AD，已知ACEC，AB=AF=BC=2，AD=DE=4，四邊形ADEF為直角梯形，AF/DE，DAF=90°.（1）證明：AC平面CDE，平面ABCD平面ADEF；（2）求三棱錐EABF的體積.試卷第3頁，總4頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。參考答案1（1）見解析（2）34【解析】分析：(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.詳解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP=23.連結(jié)OB.因為AB=BC=22AC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.（2）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23),取平面PAC的法向量OB=(2,0,0).設(shè)M(a,2-a,0)(0<a2)，則AM=(a,4-a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).由APn=0,AMn=0得2y+23z=0ax+(4-a)y=0，可取n=(3(a-4),3a,-a)，所以cosOB,n=23(a-4)23(a-4)2+3a2+a2.由已知得|cosOB,n|=32.所以23|a-4|23(a-4)2+3a2+a2=32.解得a=-4（舍去），a=43.所以n=(-833,433,-43).又PC=(0,2,-23)，所以cosPC,n=34.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為34.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.2解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP=23連結(jié)OB因為AB=BC=22AC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OB=12AC=2由OP2+OB2=PB2知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足為H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的長為點C到平面POM的距離由題設(shè)可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45°所以O(shè)M=253，CH=OCMCsinACBOM=455所以點C到平面POM的距離為455【解析】分析：（1）連接OB，欲證PO平面ABC，只需證明POAC,POOB即可；（2）過點C作CHOM，垂足為M，只需論證CH的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可.詳解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP=23連結(jié)OB因為AB=BC=22AC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OB=12AC=2由OP2+OB2=PB2知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足為H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的長為點C到平面POM的距離由題設(shè)可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45°所以O(shè)M=253，CH=OCMCsinACBOM=455所以點C到平面POM的距離為455點睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能將問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問可以通過作出點到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.3（）見解析；（）3913.【解析】分析:方法一：（）通過計算，根據(jù)勾股定理得AB1A1B1,AB1B1C1,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論，（）找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，根據(jù)向量之積為0得出AB1A1B1,AB1A1C1,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論，（）根據(jù)方程組解出平面ABB1的一個法向量，然后利用AC1與平面ABB1法向量的夾角的余弦公式及線面角與向量夾角的互余關(guān)系求解.詳解：方法一：（）由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB得AB1=A1B1=22，所以A1B12+AB12=AA12.故AB1A1B1.由BC=2，BB1=2,CC1=1, BB1BC,CC1BC得B1C1=5，由AB=BC=2,ABC=120°得AC=23，由CC1AC，得AC1=13，所以AB12+B1C12=AC12，故AB1B1C1.因此AB1平面A1B1C1.（）如圖，過點C1作C1DA1B1，交直線A1B1于點D，連結(jié)AD.由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1，由C1DA1B1得C1D平面ABB1，所以C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.學(xué)科.網(wǎng)由B1C1=5,A1B1=22,A1C1=21得cosC1A1B1=67,sinC1A1B1=17，所以C1D=3，故sinC1AD=C1DAC1=3913.因此，直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913.方法二：（）如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點坐標(biāo)如下：A(0,-3,0),B(1,0,0),A1(0,-3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1),因此AB1=(1,3,2),A1B1=(1,3,-2),A1C1=(0,23,-3),由AB1A1B1=0得AB1A1B1.由AB1A1C1=0得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.（）設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.由（）可知AC1=(0,23,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2),設(shè)平面ABB1的法向量n=(x,y,z).由nAB=0,nBB1=0,即x+3y=0,2z=0,可取n=(-3,1,0).所以sin=|cosAC1,n|=|AC1n|AC1|n|=3913.因此，直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.4（）74（）見解析（）75【解析】分析：（）由題意得A1B1AB，故GA1B1是異面直線A1G與AB所成的角，解三角形可得所求余弦值（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，由A1平面ABC可得AA1A1G，于是BB1A1G，又A1GB1C1，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論成立（）取BC的中點H，連接AH，HG；取HG的中點O，連接OP，OC1由PO/A1G可得PO平面BCC1B1， 故得PC1O是PC1與平面BCC1B1所成的角，然后解三角形可得所求詳解： (I)A1B1AB，GA1B1是異面直線A1G與AB所成的角 A1B1=A1C1=2，G為BC的中點，A1GB1C1，在RtGA1B1中，A1GB1=90°，GA1B1=A1GA1B1=22-(32)22=74， 即異面直線AG與AB所成角的余炫值為74（II）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，A1G平面ABC， AA1A1G， BB1A1G， 又A1GB1C1，BB1B1C1=B1，A1G平面BCC1B1 （III）解：取BC的中點H，連接AH，HG；取HG的中點O，連接OP，OC1PO/A1G，PO平面BCC1B1， PC1O是PC1與平面BCC1B1所成的角 由已知得，PC1=22+(32)2=52,PO=A1G=72，sinPC1O=POPC1=75,直線PC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為75點睛：用幾何法求求空間角的步驟：作：利用定義作出所求的角，將其轉(zhuǎn)化為平面角；證：證明作出的角為所求角；求：把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形求空間角；作出結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題5(1)見解析;(2)22.【解析】試題分析：（1）由題意，可取PC中點M，連接EM,FM，則易知平面EMF平面PAD,由條件易證AB平面PAD，則AB平面EMF，又EF平面EMF，根據(jù)線面垂直的定義，從而問題可得證；（2）由題意，采用坐標(biāo)法進行求解，可取AD中點O為坐標(biāo)原點，過O點作平行于AB的直線為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面BEF和平面EFC的法向量，結(jié)合圖形，二面角BEFC為銳角，從而問題可得解.試題解析：（1）取PC中點M，連結(jié)EM，F(xiàn)M，ABCD是正方形，ABAD，又PA=AB=1，PB=2，ABPA，AB面PAD，ABPD，又E，F(xiàn)，M都是中點，EM/BC，MF/PD，AB面EMF，ABEF；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由題意得B1,-12,0，C1,12,0，F(xiàn)12,12,0，E12,-14,34，則BF=-12,1,0，EF=0,34,-34，CF=-12,0,0，設(shè)平面BEF的法向量為n1=(x1,y1,z1)，則n1BF=0n1EF=0，即-12x1+y1=034y1-34z1=0，令y1=1，則x1=2，z1=3，得n1=2,1,3，同理得平面CEF的法向量為n2=0,1,3，cos<n1,n2>=n1n2n1n2=22，所以他的余弦值是22.點睛：此題主要考查立體幾何中異面直線垂直的證明，二面角的三角函數(shù)值的求解，以及坐標(biāo)法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識和技能，屬于中檔題型，也是常考題型.坐標(biāo)法在解決立體幾何中的一般步驟，一是根據(jù)圖形特點，建立空間直角坐標(biāo)系；二是將幾何中的量轉(zhuǎn)化為向量，通過向量的運算；三是將運算得到的結(jié)果翻譯為幾何結(jié)論.6（1）見解析（2）見解析(3) 255【解析】分析：（1）先證明EF/DA1，再證明EF/平面A1CD.(2)先證明CD面A1ABB1，再證明平面A1CD平面A1ABB1.(3)利用異面直線所成的角的定義求直線EF與直線A1B1所成角的正弦值為255.詳解：（1）證明：連接ED，D、E分別是AB、BC的中點，DE/AC，DE=12AC，三棱柱ABC-A1B1C1中，AC/A1C1，AC=A1C1，又F為棱A1C1的中點，A1F=DE，A1F/DE，四邊形A1DEF是平行四邊形，EF/DA1，又DA1平面A1CD，EF平面A1CD，EF/平面A1CD.（2）證明：D是AB的中點，CDAB，又AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD，又AA1AB=A，CD面A1ABB1，又CD面A1CD，平面A1CD平面A1ABB1；（3）解：EF/DA1，AB/A1B1，A1DA為直線EF與直線A1B1所成的角.設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的棱長為a，則AD=12a，A1D=A1A2+AD2=52a，sinA1DA=A1AA1D=255.即直線EF與直線A1B1所成角的正弦值為255.點睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和異面直線所成角的計算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)求空間的角，方法一是利用幾何法，找作證指求.方法二是利用向量法.7（1）見解析（2）3311【解析】分析：(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE平面BDEF；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應(yīng)用常規(guī)法，作出線面角，放在三角形當(dāng)中來求解.詳解：（）在ABD中，ABD30°，由AO2AB2+BD22AB·BDcos30°，解得BD，所以AB2+BD2=AB2，根據(jù)勾股定理得ADB90°ADBD.又因為DE平面ABCD，AD平面ABCD，ADDE.又因為BDDED，所以AD平面BDEF，又AD平面ABCD，平面ADE平面BDEF， （）方法一： 如圖，由已知可得ADB=90，ABD=30，則BDC=30，則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.CD=CB=1, 則CG=12.過點C做CH/DA，交DB、AB于點G，H，則點G為點F在面ABCD上的投影.連接FG，則CGBD，DE平面ABCD，則CG平面BDEF.過G做GIBF于點I，則BF平面GCI，即角GCI為二面角C-BF-D的平面角，則GCI=60°.則tan60=CGCI，CG=12，則GI=123.在直角梯形BDEF中，G為BD中點，BD=3，GIBF，GI=123，設(shè)DE=x ，則GF=x，SBGF=12BGGF=12BFGI，則DE=68. tanFCG=FGGC=64，則sinFCG=3311，即CF與平面ABCD所成角的正弦值為3311（）方法二：可知DA、DB、DE兩兩垂直，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)DEh，則D(0，0，0)，B(0，0)，C(，h).，. 設(shè)平面BCF的法向量為m(x，y，z)，則mBC=0mBF=0所以-0.5x-32y=0-32y+hz=0取x=，所以m(，-1，)，取平面BDEF的法向量為n(1，0，0)，由cos<m，n>=mnmn=cos60，解得h=68，則DE=68，又,則CF=228，設(shè)CF與平面ABCD所成角為，則sin=68+228=3311.故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為3311 點睛：該題考查的是立體幾何的有關(guān)問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定，線面角的正弦值，在求解的過程中，需要把握面面垂直的判定定理的內(nèi)容，要明白垂直關(guān)系直角的轉(zhuǎn)化，在求線面角的有關(guān)量的時候，有兩種方法，可以應(yīng)用常規(guī)法，也可以應(yīng)用向量法.8（1）見解析；（2）14【解析】分析：（1）由題意得ABC是等邊三角形，故得BM=32，于是BMMD=3，從而得BMMD=BNNP=3，所以MN/PD，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論成立（2）由PA平面ABCD可得BDPA，于是BD平面PAC又MN/PD，所以直線MN與平面PAC所成角即直線PD與平面PAC所成角，從而得到DPM即為所求角，然后根據(jù)解三角形可得所求詳解：（1）因為AB=BC,AD=CD，所以BD垂直平分線段AC又ADC=1200，所以MD=12AD=12在ADC中，由余弦定理得AC2=DA2+DC2-2AD×DC×cosADC=1+1-2×1×1×cos120°=3，所以AC=3又AB=BC=3，所以ABC是等邊三角形，所以BM=32，所以BMMD=3，又因為PN=14PB，所以BMMD=BNNP=3，所以MN/PD又MN平面PDC,PD平面PDC，所以MN/平面PDC（2）因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC,PAAC=A，所以BD平面PAC由（1）知MN/PD，所以直線MN與平面PAC所成角即直線PD與平面PAC所成角，故DPM即為所求的角在RtPAD中，PD=2，所以sinDPM=DMDP=122=14，所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為14點睛：（1）證明空間中的位置關(guān)系時要注意解題的規(guī)范性和嚴(yán)密性，運用定理證明時要體現(xiàn)出定理中的關(guān)鍵性詞語（2）用幾何法求空間角時可分為三步，即“一找、二證、三計算”，即首先根據(jù)所求角的定義作出所求的角，并給出證明，最后利用解三角形的方法得到所求的角（或其三角函數(shù)值）9(1)見解析；（2）cosm,n=mnmn=223=63.【解析】分析：（1）由勾股定理的逆定理可得ADDC，EDDC；又由條件可得到EDAD，于是ED平面ABCD，可得EDBC，從而得到BC平面EBD，根據(jù)面面垂直的判定定理得平面EBC平面EBD（2）由題意得可得DA，DC，DE兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得點M的坐標(biāo)為(0,23,23)，于是可求得平面MBD的法向量為m=(-1,1,1)，又BC=(-1,1,0)是平面EBD的一個法向量，求得cos<m,BC>=63后結(jié)合圖形可得所求余弦值為63詳解：（1）由AD=1，CD=2，AC=5，得AD2+CD2=AC2，ADC為直角三角形，且ADDC同理EDC為直角三角形，且EDDC又四邊形ADEF是正方形，ADDE又AB/DCDAAB.在梯形ABCD中，過點作B作BHCD于H，故四邊形ABHD是正方形，ADB=45°.在BCH中，BH=CH=1，BCH=45°，BC=2，BDC=45°，DBC=90°，BCBD.EDAD，EDDC,ADDC=D，ED平面ABCD,又BC平面ABCD，EDBC，又BDED=D，BC平面EBD，又BC平面EBC，平面EBC平面EBD（2）由（1）可得DA，DC，DE兩兩垂直，以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D(0,0,0),E(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0).令M(0,y0,z0)，則EM=(0,y0,z0-1)，EC=(0,2,-1)3EM=EC，(0,3y0,3z0-3a)=(0,2,-1)點M的坐標(biāo)為(0,23,23).BC平面EBD，BC=(-1,1,0)是平面EBD的一個法向量.設(shè)平面MBD的法向量為m=(x,y,z).則mDB=0mDM=0，即x+y=023y+23z=0，可得x=-y=-z.令y=-1，得m=(-1,1,1)cos<m,BC>=mBCmBC=22×3=63由圖形知二面角M-BD-E為銳角，二面角M-BD-E的平面角的余弦值為63點睛：利用空間向量求二面角的注意點（1）建立空間直角坐標(biāo)系時，要注意證明得到兩兩垂直的三條直線然后確定出相應(yīng)點的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上求得平面的法向量（2）求得兩法向量的夾角的余弦值后，還要結(jié)合圖形確定二面角是銳角還是鈍角，然后才能得到所求二面角的余弦值這一點在解題時容易忽視，解題時要注意10（1）見解析（2）433【解析】分析：（1）通過取AD中點M，連接CM，利用CM=12AD得到直角；再利用ACEC可得AC平面CDE；再根據(jù)線面垂直判定定理即可證明。 由前面已經(jīng)證明的線面垂直，可得DEAC，而DE平面ABCD，DE平面ADEF所以可得面面垂直。（2）根據(jù)等體積法，變換頂點即可求得體積。詳解：（1）證明：取AD的中點M，連接CM，AB=AF=BC=2，BC/AM，由四邊形ABCM為平行四邊形，可知CM=12AD，在ACD中，有ACD=90°，ACDC.又ACEC，DCEC=C，AC平面CDE，ED平面CDE，DEAC.又DEAD，ADDE=D，DE平面ABCD.DE平面ADEF，平面ABCD平面ADEF.（2）解：由（1）知平面ABCD平面ADEF，作BHAD，BH平面ADEF，BH=3， 連接AE，VE-ABF=VB-AEF=13SAEFBH =13×12×2×4×3=433.點睛：本題綜合考查了線面垂直、面面垂直的判定，等體積法在立體幾何中的應(yīng)用等，關(guān)鍵注意書寫的格式和步驟，屬于中檔題。答案第15頁，總15頁