年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)（解析版）7：立體幾何

2012高考真題分類(lèi)匯編：立體幾何一、選擇題1.【2012高考真題新課標(biāo)理7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ） 【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為，所以幾何體的體積為,選B.2.【2012高考真題浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。將沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中。A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直.B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直.C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直.D.對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直 【答案】C【解析】最簡(jiǎn)單的方法是取一長(zhǎng)方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著，觀察在翻著過(guò)程，即可知選項(xiàng)C是正確的3.【2012高考真題新課標(biāo)理11】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 【答案】A【解析】的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離,為球的直徑點(diǎn)到面的距離為 此棱錐的體積為 另：排除,選A.4.【2012高考真題四川理6】下列命題正確的是（ ）A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行 【答案】C【解析】A.兩直線可能平行，相交，異面故A不正確；B.兩平面平行或相交；C.正確；D.這兩個(gè)平面平行或相交.5.【2012高考真題四川理10】如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交半球面于點(diǎn)，過(guò)圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為，該交線上的一點(diǎn)滿足，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（ ）A、 B、 C、 D、【答案】A 【解析】根據(jù)題意，易知平面AOB平面CBD,，由弧長(zhǎng)公式易得，、兩點(diǎn)間的球面距離為.6.【2012高考真題陜西理5】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 5.【答案】A.【解析】設(shè)，則，故選A.7.【2012高考真題湖南理3】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是【答案】D【解析】本題是組合體的三視圖問(wèn)題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是該幾何體的俯視圖，不可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查空間想象能力.是近年高考中的熱點(diǎn)題型.8.【2012高考真題湖北理4】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A B C D【答案】B【解析】顯然有三視圖我們易知原幾何體為 一個(gè)圓柱體的一部分，并且有正視圖知是一個(gè)1/2的圓柱體，底面圓的半徑為1，圓柱體的高為6，則知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B.9.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為A12 B.45 C.57 D.81【答案】C 【解析】該幾何體的上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)量關(guān)系，可得故選C 10.【2012高考真題福建理4】一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圓柱【答案】D.【命題立意】本題考查了空間幾何體的形狀和三視圖的概念，以及考生的空間想象能力，難度一般.【解析】球的三視圖全是圓；如圖正方體截出的三棱錐三視圖全是等腰直角三角形；正方體三視圖都是正方形.可以排除ABC，故選11.【2012高考真題重慶理9】設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】因?yàn)閯t，選A，12.【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過(guò)勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，因此該幾何體表面積，故選B。13.【2012高考真題全國(guó)卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為A 2 B C D 1【答案】D【解析】連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以,且，所以，即直線 與平面BED的距離等于點(diǎn)C到平面BED的距離，過(guò)C做于,則即為所求距離.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2，高為，所以,所以利用等積法得，選D. 二、填空題14.【2012高考真題浙江理11】已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積等于_cm3.【答案】1【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形，右側(cè)面也是一直角三角形故體積等于15.【2012高考真題四川理14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是_?！敬鸢浮俊久}立意】本題主要考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，以及異面直線所成角的求法.【解析】本題有兩種方法，一、幾何法：連接，則,又，易知，所以與所成角的大小是；二、坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式計(jì)算得異面直線與所成角的大小是. 16.【2012高考真題遼寧理13】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)?！敬鸢浮?8【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，即為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于容易題。本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，然后再根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出表面積。17.【2012高考真題山東理14】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為線段上的點(diǎn)，則三棱錐的體積為_(kāi).【答案】【解析】法一：因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)到平面的距離為1,即，所以.法二：使用特殊點(diǎn)的位置進(jìn)行求解，不失一般性令點(diǎn)在點(diǎn)處，點(diǎn)在點(diǎn)處，則。18.【2012高考真題遼寧理16】已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_(kāi)?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個(gè)正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn)。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱19.【2012高考真題上海理8】若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)榘雸A面的面積為，所以，即，即圓錐的母線為，底面圓的周長(zhǎng)，所以圓錐的底面半徑，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為。20.【2012高考真題上海理14】如圖，與是四面體中互相垂直的棱，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是 ?！敬鸢浮俊！窘馕觥窟^(guò)點(diǎn)A做AEBC，垂足為E，連接DE，由ADBC可知，BC平面ADE，所以=，當(dāng)AB=BD=AC=DC=a時(shí)，四面體ABCD的體積最大。過(guò)E做EFDA，垂足為點(diǎn)F，已知EA=ED，所以ADE為等腰三角形，所以點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，又，EF=，=，四面體ABCD體積的最大值=。21.【2012高考江蘇7】（5分）如圖，在長(zhǎng)方體中，則四棱錐的體積為 cm3【答案】6?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，棱錐的體積?！窘馕觥块L(zhǎng)方體底面是正方形，中 cm，邊上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱錐的體積為。22.【2012高考真題安徽理12】某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是【答案】92【命題立意】本題考查空間幾何體的三視圖以及表面積的求法?！窘馕觥吭搸缀误w是底面是直角梯形，高為的直四棱柱，幾何體的表面積是23.【2012高考真題天津理10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_(kāi)m3. 【答案】【解析】根據(jù)三視圖可知，這是一個(gè)上面為長(zhǎng)方體，下面有兩個(gè)直徑為3的球構(gòu)成的組合體，兩個(gè)球的體積為，長(zhǎng)方體的體積為，所以該幾何體的體積為。24.【2012高考真題全國(guó)卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等， BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi).【答案】【解析】如圖設(shè)設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，且所以，所以， ，設(shè)異面直線的夾角為，所以.三、解答題25.【2012高考真題廣東理18】（本小題滿分13分）如圖5所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn) E在線段PC上，PC平面BDE（1） 證明：BD平面PAC；（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；【答案】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面垂直的證明、二面角的求解等問(wèn)題，考查了學(xué)生的空間想象能力以及推理論證能力.26.【2012高考真題遼寧理18】(本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)。 ()證明：平面; ()若二面角為直二面角，求的值?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，難度適中。第一小題可以通過(guò)線線平行來(lái)證明線面平行，也可通過(guò)面面平行來(lái)證明。27.【2012高考真題湖北理19】（本小題滿分12分）如圖1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將折起，使（如圖2所示） （）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小DABCACDB圖2圖1ME.·第19題圖【答案】（）解法1：在如圖1所示的中，設(shè)，則由，知，為等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如圖2），且，所以平面又，所以于是 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)，即時(shí), 三棱錐的體積最大 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大 （）解法1：以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系由（）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，于是可得，且設(shè)，則. 因?yàn)榈葍r(jià)于，即，故，.所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由 及，得 可取 設(shè)與平面所成角的大小為，則由，可得，即CADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN 圖cBDPCFNEBGMNEH圖d第19題解答圖N 故與平面所成角的大小為 解法2：由（）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則.由（）知平面，所以平面.如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，則四邊形為正方形，所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則，所以. 因?yàn)槠矫?，又面，所? 又，所以面. 又面，所以.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的.即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）， 連接，由計(jì)算得，所以與是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，則平面在平面中，過(guò)點(diǎn)作于，則平面故是與平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即與平面所成角的大小為 28.【2012高考真題新課標(biāo)理19】（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，（1）證明：（2）求二面角的大小.【答案】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接 ，面面面 得：點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角 設(shè)，則， 既二面角的大小為29.【2012高考江蘇16】（14分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn) 不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)求證：（1）平面平面； （2）直線平面【答案】證明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），為的中點(diǎn)，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直線平面【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系?！窘馕觥浚?）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和證得。 （2）要證直線平面，只要證平面上的即可。30.【2012高考真題四川理19】(本小題滿分12分) 如圖，在三棱錐中，平面平面。（）求直線與平面所成角的大小；（）求二面角的大小?！敬鸢浮勘绢}主要考查直線與平面的位置關(guān)系，線面角的概念，二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，利用向量解決立體幾何問(wèn)題的能力. 31.【2012高考真題福建理18】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點(diǎn).（）求證：B1EAD1；（）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由. （）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長(zhǎng).【答案】本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及二面角的概念與求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、基本運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.32.【2012高考真題北京理16】（本小題共14分） 如圖1，在RtABC中，C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如圖2.(I)求證：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如圖建系，則，,設(shè)平面法向量為則 又，與平面所成角的大小。（3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則則，設(shè)平面法向量為，則 。假設(shè)平面與平面垂直，則，不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直。33.【2012高考真題浙江理20】(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且BAD120°，且PA平面ABCD，PA，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)()證明：MN平面ABCD；() 過(guò)點(diǎn)A作AQPC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值【命題立意】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，二面角所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力?！敬鸢浮?)如圖連接BDM，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，MN平面ABCD；()如圖建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，0)，N(，0，0)，C(，3，0)設(shè)Q(x，y，z)，則，由，得： 即：對(duì)于平面AMN：設(shè)其法向量為則 同理對(duì)于平面AMN得其法向量為記所求二面角AMNQ的平面角大小為，則所求二面角AMNQ的平面角的余弦值為34.【2012高考真題重慶理19】（本小題滿分12分 如圖，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)（）求點(diǎn)C到平面的距離;（）若求二面角 的平面角的余弦值.【答案】【命題立意】本題考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，考查線面垂直關(guān)系、二面角的求法以及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.35.【2012高考真題江西理20】（本題滿分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O。（1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的長(zhǎng)；（2）求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用以及空間想象的能力. 高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明；二、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問(wèn)題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問(wèn)，第3種考查多出現(xiàn)在第2問(wèn)；對(duì)于角度問(wèn)題，一般有直接法與空間向量法兩種求解方法.36.【2012高考真題安徽理18】（本小題滿分12分）平面圖形如圖4所示，其中是矩形，?，F(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊，使與所在平面都與平面垂直，再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形，對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題。（）證明：； （）求的長(zhǎng)；（）求二面角的余弦值。【答案】本題考查平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定?？臻g線段長(zhǎng)度和空間角的余弦值的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查空間想象能力，推理論證能力和求解能力?！窘馕觥?綜合法)（I）取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接， 則，面面面，同理：面 得：共面，又面。（）延長(zhǎng)到，使 ，得：，面面面面，。（）是二面角的平面角。在中，在中，得：二面角的余弦值為。37.【2012高考真題上海理19】（6+6=12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，求：（1）三角形的面積；（2）異面直線與所成的角的大小?！敬鸢浮俊窘馕觥浚?）PA底面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，CDPD，又，CD=2，PCD的面積為。（2）解法一：取PB的中點(diǎn)F，連接EF,AF, 則EFBC，AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角。在ADF中，EF=、AF=,AE=2，AEF是等腰直角三角形，AEF=，異面直線BC與AE所成的角大小為。解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0),C(2，,0),E(1，,1)，=(1，,1)，=(0,0),設(shè)與的夾角為，則=,又0，=?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時(shí)考查空間幾何體的體積公式的運(yùn)用.本題源于必修2立體幾何章節(jié)復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重課本，容易出現(xiàn)找錯(cuò)角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題38.【2012高考真題全國(guó)卷理18】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC.（）證明：PC平面BED；（）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小.【答案】39.【2012高考真題山東理18】（18）（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，平面.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值.【答案】解析：（）在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知,即,在中，DAB=60°，則為直角三角形，且。又AEBD，平面AED，平面AED，且，故BD平面AED；（）由（）可知，設(shè)，則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，向量為平面的一個(gè)法向量.設(shè)向量為平面的法向量，則,即，取，則，則為平面的一個(gè)法向量.，而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則二面角F-BD-C的余弦值為。40.【2012高考真題湖南理18】（本小題滿分12分） 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.【答案】解法1（如圖（1），連接AC，由AB=4，是的中點(diǎn)，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.（）過(guò)點(diǎn)作由（）CD平面PAE知，平面PAE.于是為直線與平面PAE所成的角，且.由知，為直線與平面所成的角.由題意，知因?yàn)樗杂伤运倪呅问瞧叫兴倪呅?，故于是在中，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：（）易知因?yàn)樗远瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以()由題設(shè)和（）知，分別是，的法向量，而PB與所成的角和PB與所成的角相等，所以由（）知，由故解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為 .41.【2012高考真題天津理17】（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（）證明PCAD；（）求二面角A-PC-D的正弦值；（）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng). 【答案】