《常用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性比較本科生畢業(yè)論文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《常用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性比較本科生畢業(yè)論文(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、目錄中文摘要i英文摘要ii1. 引言12. 預(yù)備知識(shí)13. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的兩種常用判別法的強(qiáng)弱性比較14. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的三種常用判別法的強(qiáng)弱性比較4致謝7參考文獻(xiàn)8常用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性比較摘 要: 本文比較五種數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性, 并給出相應(yīng)的證明和反例, 其中五種數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法為: 柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、阿貝爾判別法、狄立克萊判別法和萊布尼茲判別法.關(guān)鍵詞: 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù); 斂散性; 判別法; 強(qiáng)弱性比較The Comparison of strength and weakness about Discriminance of Convergence and Div
2、ergence of Universal Number SeriesAbstract:In this paper, we compare the strength of five discriminance of convergence and divergence about number series, and give the corresponding proof and counter-examples, where five discriminance of convergence and divergence about number series are: Cauchy Dis
3、criminance, DAlembert Discriminance, Abel Discriminance, Dirichlet Discriminance and Leibniz Discriminance.Key words:Number series; Convergence and Divergence; Discriminance; Comparison of strength and weaknessii1引 言 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法是研究數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的一個(gè)重要而有趣的領(lǐng)域,是判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的有效方法, 有廣泛的應(yīng)用, 見1-7. 關(guān)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法有很多種,我們可以選擇
4、不同的判別法來確定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性. 在2中, 給出幾種常用的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法, 其中有:比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、狄立克萊判別法、阿貝爾判別法、萊布尼茲判別法等. 對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可用某些判別法確定之,而不能用另外一些判別法確定之,這就出現(xiàn)了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性. 本文就是比較這些判別法之間的斂散性的強(qiáng)弱性. 以便于運(yùn)用判別法的有效選擇. 對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法的強(qiáng)弱性問題,常用的主要有比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法. 其中比較判別法是最強(qiáng)的, 因?yàn)榭挛髋袆e法、達(dá)朗貝爾判別法的證明就是依據(jù)比較判別法來證明的. 因此,本文只對(duì)柯西判別法
5、、達(dá)朗貝爾判別法的強(qiáng)弱性進(jìn)行比較. 對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù),主要有阿貝爾判別法、狄立克萊判別法和萊布尼茲判別法.它們都是多條件判別法,雖然各個(gè)條件分別各有其強(qiáng)弱性,但從狄立克萊判別法可以推導(dǎo)出阿貝爾判別法,從狄立克萊判別法也可以得到萊布尼茲判別法. 所以它們之間也有強(qiáng)弱性,本文給出強(qiáng)弱性結(jié)果和相應(yīng)的證明與反例.2預(yù)備知識(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法 若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和之間成立著關(guān)系:存在常數(shù)0, 使(1, 2, 3, )或者自某項(xiàng)以后(即, 當(dāng)時(shí))成立以上關(guān)系, 那么:(i)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),級(jí)數(shù)亦收斂;(ii)當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)亦發(fā)散(證明略, 參見2)3正項(xiàng)級(jí)數(shù)的兩種常用判別法的強(qiáng)弱性比較I.柯西(Cauchy
6、)判別法 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 若從某一項(xiàng)起(即, 當(dāng)時(shí))成立著(為某確定的常數(shù)), 則級(jí)數(shù)收斂; 若從某一項(xiàng)起成立著, 則級(jí)數(shù)發(fā)散.證明 若當(dāng)時(shí), 成立, 則有. 由于級(jí)數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較判別法得級(jí)數(shù)收斂. 若當(dāng)時(shí), , 則有. 從而級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0, 故級(jí)數(shù)發(fā)散.這個(gè)判別法也可以寫成極限形式: 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù), 設(shè), 那么當(dāng)時(shí), 此級(jí)數(shù)必為收斂級(jí)數(shù); 當(dāng), 此級(jí)數(shù)必為發(fā)散級(jí)數(shù); 當(dāng)時(shí), 此級(jí)數(shù)的斂散性須進(jìn)一步判定. (參見2)II.達(dá)朗貝爾(DAlembert)判別法 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 若從某一項(xiàng)起 (即, 當(dāng)時(shí))成立著(為某一確定的常數(shù)), 則級(jí)數(shù)收斂, 若從某一項(xiàng)起, , 則級(jí)數(shù)發(fā)散.證
7、明 若當(dāng)時(shí), 成立, 則有. 故.由于級(jí)數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較判別法有級(jí)數(shù)收斂. 若當(dāng)時(shí), 成立, 即, 則.又因, 則. 故不趨于0. 所以級(jí)數(shù)發(fā)散.這個(gè)判別法也可以寫成極限形式:對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù), 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散; 而當(dāng)或者時(shí), 級(jí)數(shù)的斂散性須進(jìn)一步判定. (參見2)定理1柯西判別法強(qiáng)于達(dá)朗貝爾判別法. 即對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù), 能用達(dá)朗貝爾判別法確定其斂散性, 則必可用柯西判別法確定之.證明 這里只須證明:.而這里只證明第一個(gè)不等式, 第二個(gè)不等式恒成立, 第三個(gè)不等式類似于第一個(gè)不等式的證明. 令, 任取, 使得, 則存在, 當(dāng)時(shí), 有, 即, 故 .所以, 即. 所以 .由
8、于此式對(duì)一切均成立. 故 .定理得證.注1 對(duì)于給定的正項(xiàng)級(jí)數(shù), 能用柯西判別法確定其斂散性, 未必能用達(dá)朗貝爾判別法確定之. 下舉一例子說明.例1 設(shè)級(jí)數(shù), 分別用柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法判斷該級(jí)數(shù)的斂散性.解: 先用柯西判別法判別其斂散性.由于, 又因. 故.即.由柯西判別法得, 級(jí)數(shù)收斂. 但 .所以, , 故不能用達(dá)朗貝爾判別法判斷其斂散性.4 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的三種常用判別法的強(qiáng)弱性比較III.阿貝爾(Abel)判別法 如果:(i)級(jí)數(shù)收斂;(ii)數(shù)列單調(diào)有界, (1, 2, 3, ).則級(jí)數(shù)收斂.(證明略,參見2)IV.狄立克萊(Dirichlet)判別法 如果:(i)級(jí)數(shù)的部分和有
9、界, (1, 2, 3, );(ii)數(shù)列單調(diào)趨于零.則級(jí)數(shù)收斂.(證明略, 參見2)V.萊布尼茲(Leibniz)判別法 如果一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的項(xiàng)滿足以下兩個(gè)條件:(i)單調(diào)減少 (1, 2, 3, );(ii).則級(jí)數(shù)收斂. (證明略, 參見2)定理2 狄立克萊判別法強(qiáng)于阿貝爾判別法. 即凡能用阿貝爾判別法確定其斂散性的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 必可用狄立克萊判別法確定之.證明:由阿貝爾判別法的假設(shè)條件(ii)可知, 數(shù)列的極限存在,設(shè)此極限為,則 .由阿貝爾判別法的條件(i)可知, 級(jí)數(shù)收斂. 所以級(jí)數(shù)部分和有界,即存在, 使(1, 2, 3, ). 因單調(diào)趨于0. 由狄立克萊判別法知, 級(jí)數(shù)收斂. 又因
10、級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)收斂. 定理得證.注2 對(duì)于給定的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 能用狄立克萊判別法確定其斂散性. 該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)未必能用阿貝爾判別法確定之. 下舉一例子說明.例2 設(shè)級(jí)數(shù), 分別用狄立克萊判別法和阿貝爾判別法判斷其斂散性.解:因 (2, 3, 4, )由積化和差公式: , 得.所以(2, 3, 4, ). 又因時(shí), 單調(diào)趨于0,故由狄立克萊判別法知級(jí)數(shù)收斂. 但由于不收斂于0. 由收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)必定趨于0, 可以得到級(jí)數(shù)不收斂. 所以不能用阿貝爾判別法判斷級(jí)數(shù)的斂散性.定理3 狄立克萊判別法強(qiáng)于萊布尼茲判別法, 即凡能用萊布尼茲判別法確定其斂散性的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 必可用狄立克萊判別法確定之.證明 對(duì)于
11、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件, 可根據(jù)狄立克萊判別法證明其收斂. 如下:令, (1, 2, 3, ). 因?yàn)?(1, 2, 3, )且. 所以數(shù)列單調(diào)趨于0. 又因, 令, 則, 有界. 所以, 由狄立克萊判別法知級(jí)數(shù)收斂. 即級(jí)數(shù)收斂. 定理得證.注3 對(duì)于給定的任意項(xiàng)級(jí)數(shù), 能用狄立克萊判別法確定其斂散性. 該級(jí)數(shù)未必能用萊布尼茲判別法確定之. 例如: 例2中級(jí)數(shù)能用狄立克萊判別法確定其斂散性, 但由于該級(jí)數(shù)不是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 顯然不能用萊布尼茲判別法確定之. 其實(shí), 萊布尼茲判別法可以作為狄立克萊判別法的一個(gè)特殊情況. 因?yàn)? 對(duì)于狄立克萊判別法中的級(jí)數(shù), 令, , 由數(shù)列單調(diào)趨于零
12、, 可得到: (i)單調(diào)減少(充分大時(shí)); (ii). 就是萊布尼茲判別法了. 參考文獻(xiàn)1 汪林, 戴正德, 楊富春, 鄭喜印編. 數(shù)學(xué)分析問題研究與評(píng)注. 北京: 科學(xué)出版社. 1995.2 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋編. 數(shù)學(xué)分析(第二版). 北京: 高等教育出版社. 2005.3 許紹溥, 姜東平, 宋國柱, 任福賢編. 數(shù)學(xué)分析教程. 南京: 南京大學(xué)出版社. 2000.4 汪林編. 數(shù)學(xué)分析中的問題和反例. 昆明: 云南科技出版社. 1990.5 云南大學(xué)教務(wù)處編. 2006云南大學(xué)本科生優(yōu)秀畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))集粹(理科). 昆明: 云南民族大學(xué)印刷廠印制. 2006.6 楊鐘玄. 關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法及其聯(lián)系. 天水師專學(xué)報(bào). 1999, 第19卷(47期): 8083.7 錢志良. 對(duì)Abel和Dirichlet判別法的擴(kuò)充. 常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào). 2004, 第3卷(3期): 4142.7