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1、基于巴特沃斯法數(shù)字IIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 1、 數(shù)字帶阻IIR濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器在很多領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用。與FIR數(shù)字濾波器相比,它可以用較低的階數(shù)獲得高選擇性,所用存儲(chǔ)單元少,經(jīng)濟(jì)而效率高,在相同門級(jí)規(guī)模和相同時(shí)鐘速度下可以提供更好的帶外衰減特性。下面介紹一種設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的方法。設(shè)計(jì)步驟如下:步驟1:將數(shù)字濾波器H(z)的技術(shù)指標(biāo)p和s,通過tan(/2)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器G(s)的技術(shù)指標(biāo)p和s,作歸一化處理后,得到p1,ss/p;步驟2:化解為模擬原型濾波器G(s)的技術(shù)指標(biāo);步驟3:設(shè)計(jì)模擬原型濾波器G(p);步驟4:將G(p)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)G(s);步
2、驟5:將G(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z),s=(z1)(z+1)。所謂原型濾波器是指歸一化的低通濾波器。本節(jié)主要討論通過IIR數(shù)字濾波器的原型轉(zhuǎn)換設(shè)計(jì)法和IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器其轉(zhuǎn)換方法主要有3種:一是直接由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器;二是先由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器,然后再把它轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器;三是將模擬低通濾波器先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器,再通過變量代換變換成高通、帶通或帶阻濾波器。數(shù)字IIR濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖:模擬低通原型頻率變換模擬離散化IIR數(shù)字濾波器圖1、IIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟2、帶阻濾
3、波器的設(shè)計(jì)規(guī)范: 本設(shè)計(jì)中分別用h(t)、H(s)、Ha(j)表示模擬濾波器的單位脈沖相應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù),三者的關(guān)系如下:Ha(s) = LTha(t) =edtHa(j)=FTha(t) =edt可以用h(t)、H(s)、Ha(j)中任一個(gè)描述模擬濾波器,也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí),設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻相應(yīng)函數(shù)|Ha(j)|給出,而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo),求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。工程實(shí)際中通常用所謂的損耗函數(shù)即衰減函數(shù)A()來描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性,對(duì)歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù),A()定義如下:A()=-20lg|Ha(j)|=-10lg|Ha(j)
4、| dB模擬帶阻濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)有、。和分別表示帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率;和分別表示帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。1和2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度 圖2、帶阻濾波器帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)要求必須是幾何對(duì)稱的。如果帶阻濾波器不是幾何對(duì)稱的,為了使對(duì)稱的帶阻濾波器滿足最小阻帶衰減要求,在由非對(duì)稱的帶阻濾波器變換為對(duì)稱的帶阻濾波器時(shí),保留非對(duì)稱帶阻濾波器的阻帶截止頻率調(diào)整兩個(gè)通帶截止頻率中的一個(gè),調(diào)整過程步驟如下:1、 計(jì)算=2、 計(jì)算=,如果,用代替;3、 如果,計(jì)算=,并用代替;4、 如果A A,選擇A=min A, A。所有類型的變換,包括各自與低通原型的頻率
5、變換如表1所示。用頻率變換法設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器的步驟如下:1、確定低通、高通、帶通和帶阻模擬濾波器的技術(shù)要求。當(dāng)要求的帶通或帶阻濾波器是非幾何對(duì)稱時(shí),根據(jù)上面描述的過程使這些技術(shù)要求成幾何對(duì)稱的;2、根據(jù)表1中的變換關(guān)系,確定歸一化低通濾波器的技術(shù)要求:通帶截止頻率為,阻帶截止頻率為,阻帶衰減為A(dB),阻帶衰減為A (dB);3、根據(jù)、A 和A,用巴特沃斯設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器;4、根據(jù)表1最右欄的變換關(guān)系,得到要求的非歸一化模擬濾波器。 表1 模擬濾波器的頻率變換濾波器類型歸一化低通濾波器H(p)的技術(shù)指標(biāo)要求要求的濾波器H(s), H(s)= H(p)低通H(p)低通H(s)P=低通H(
6、p)高通H(s)P=低通H(p)帶通H(s)P=低通H(p)帶阻H(s)P=下面我們用巴特沃斯濾波法來設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字IIR帶阻型濾波器:濾波器規(guī)范:通帶下邊界頻率: 50HZ 通帶上邊界頻率: 450HZ阻帶下邊界頻率: 200HZ阻帶上邊界頻率: 300HZ通帶最大衰減: 3dB阻帶最小衰減: 20dB 抽樣頻率: 1KHZ3、帶阻濾波器的系數(shù)計(jì)算: 首先確定所要求的帶阻濾波器是否為幾何對(duì)稱的:=2*50*2*450=4*2.25*10=2*200*2*300=4*6*10因?yàn)?,而且設(shè)計(jì)的是帶阻濾波器,所以需要調(diào)整這個(gè)帶阻濾波器的通帶上下邊界頻率。因?yàn)椋?=,=,則= 用值代替值,即令=2*1
7、33.3HZ。因此,所要求的帶阻濾波器的指標(biāo)調(diào)整為:=2*133.3/1000 rad/s=2*450/1000 rad/s=2*200 /1000rad/s=2*300 /1000rad/sB=2*266.7 /1000rad/s=2*245 /1000rad/sA= A=3 dBA= A=20 dB根據(jù)表1中間欄的變換關(guān)系式,將上述給定的帶阻濾波器指標(biāo)要求轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的歸一化低通技術(shù)要求,有 =1=2.6根據(jù)上面的技術(shù)要求,可以采用查表法或計(jì)算法來設(shè)計(jì)歸一化的巴特沃斯低通濾波器,這里采用計(jì)算法。 由式 確定最小的的濾波器階數(shù),得N=1.9取N=2,計(jì)算巴特沃斯濾波器的歸一化極點(diǎn) p=ee k
8、=0,1 p=e=-0.5000+0.8660j p= e=-1.0000+0.0000j因此,低通濾波器的歸一化傳輸函數(shù)H(p)為 H(p)= = 根據(jù)表1最右邊欄的變換關(guān)系式,把歸一化低通濾波器變成所要求的帶阻濾波器的傳輸函數(shù)H(s) H(s) =H(p) =由雙線性變換法求得數(shù)字巴特沃斯帶阻濾波器的傳遞函數(shù)為: H(Z)= H(s)=軟件設(shè)計(jì)部分Fs=1000;Ap=3;As=20;Wp=50/500,450/500;Ws=200/500,300/500;b,a=butter(N,Ws,stop)系統(tǒng)指標(biāo):傳輸函數(shù)系數(shù)A:系數(shù)B:4、帶阻濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu): 令H(Z)=H(Z)H(Z):
9、 其中 H(Z)= H(Z)= 對(duì)應(yīng)的定義濾波器的差分方程如下:濾波器部分1:w(n)=(1/s)x(n)-aw(n-2) y(n)= w(n)s/s+ w(n-2) s/s濾波器部分2:w(n)= y(n)- w(n-2)y(n)= w(n) s+ w(n-2) s系數(shù)和的精確值依賴于我們對(duì)H(Z)的多項(xiàng)式的分子和分母如何組對(duì),以及實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式的二階濾波器部分是如何排序的。最好的組對(duì)和排序只能通過有限字長分析來確定。實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)圖如下:x(n) y(n) -a s/s s Z Z 圖3、濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖5、有效字長效應(yīng)分析:由給定的性能規(guī)范,我們將假設(shè)使用的算法是定點(diǎn)的2的補(bǔ)碼算術(shù),每一個(gè)系數(shù)
10、被舍入量化到16位字長。這里我們主要的是評(píng)估不同量化誤差對(duì)濾波器性能的影響,以及根據(jù)信噪比確定最好的濾波器結(jié)構(gòu)用于實(shí)現(xiàn),所要考慮的誤差源主要是:1、 溢出誤差2、 舍入誤差3、 系數(shù)量化誤差但由于DSP本身有限字長和精度的因素,加上IIR濾波器在結(jié)構(gòu)上存在反饋回路,是遞歸型的,再者高階濾波器參數(shù)的動(dòng)態(tài)范圍很大。這樣一來造成兩個(gè)后果:結(jié)果溢出和誤差增大,從而導(dǎo)致算法無法在DSP上實(shí)現(xiàn)。解決此問題的有效方法是把高階IIR數(shù)字濾波器簡化成幾個(gè)2階濾波器來設(shè)計(jì),即采用級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。因此系統(tǒng)函數(shù)為:H(z)=H1(z)H2(z)Hn(z)(3)上述4階IIR數(shù)字濾波器采用級(jí)聯(lián)的結(jié)構(gòu)后變成2個(gè)濾波器級(jí)聯(lián)的形式
11、,每個(gè)濾波器的系數(shù)表如下所示。量化前濾波器系數(shù)為了設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的IIR濾波器:需要對(duì)上一步分解獲得的二階基本節(jié)的濾波器系數(shù)進(jìn)行量化,即用一個(gè)固定的字長加以表示。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差,由此會(huì)導(dǎo)致濾波器的頻率響應(yīng)出現(xiàn)偏差,嚴(yán)重時(shí)會(huì)使IIR濾波器的極點(diǎn)移到單位圓之外,系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性。為了獲得最優(yōu)的濾波器系數(shù)量化后濾波器的系數(shù):除了系數(shù)存在量化誤差,數(shù)字濾波器運(yùn)算過程中有限字長效應(yīng)也會(huì)造成誤差,因此對(duì)濾波器中乘法器、加法器及寄存器的數(shù)據(jù)寬度要也進(jìn)行合理的設(shè)計(jì),以防止產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象和溢出振蕩。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差,由此會(huì)導(dǎo)致濾波器的頻率響應(yīng)出現(xiàn)偏差,嚴(yán)重時(shí)會(huì)使IIR濾波
12、器的極點(diǎn)移到單位圓之外,系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性圖4、量化前后系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖 由圖4可看出系統(tǒng)零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi),系統(tǒng)穩(wěn)定可實(shí)現(xiàn)。這兩個(gè)可能的濾波器結(jié)構(gòu)的每一個(gè)都有不同的比例因子,以及不同的信號(hào)舍入誤差。這個(gè)步驟的目標(biāo)是根據(jù)信噪比性能方面來確定最好的組對(duì)和排序。溢出和舍入誤差是緊密相連的,所以伸縮變換和舍入分析應(yīng)該同時(shí)進(jìn)行。利用有限字長的分析程序,可以得到對(duì)于上面兩個(gè)可能的濾波器的比例因子,它們是基于L 、L 和L的范數(shù)。在這個(gè)例子里,我們利用了L的范數(shù),對(duì)于一個(gè)以兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)部分串聯(lián)實(shí)現(xiàn)的四階濾波器,在伸縮變換以后,輸出端的舍入噪聲為:=3s| H(Z)H(Z)|+5s|H(z)|+3其中q是量化步長
13、或舍入,|.|是L范數(shù)的平方。H(Z)是第一級(jí)濾波器的傳遞函數(shù),H(Z)是第二級(jí)濾波器的傳遞函數(shù),s是第一個(gè)濾波器階段的伸縮比例因子,s是第二個(gè)濾波器的比例因子。系統(tǒng)的量化誤差的效應(yīng):我們檢查那些給出的系數(shù)字長是否滿足穩(wěn)定和頻率響應(yīng)的規(guī)范。當(dāng)極點(diǎn)不是非??拷鼏挝粓A時(shí),16位的系數(shù)字長對(duì)保持穩(wěn)定是足夠的。例如,對(duì)于第一個(gè)濾波器部分,實(shí)驗(yàn)程序表明2位就足以滿足穩(wěn)定要求,把系數(shù)量化成16位僅改變極點(diǎn)半徑。采用16位系數(shù)字長時(shí),濾波器的響應(yīng)實(shí)際上和未量化的濾波器的響應(yīng)是一樣的。圖5描繪了量化前后的濾波器的頻率響應(yīng)。圖5、帶阻濾波器量化前后的幅頻響應(yīng)-為量化前 量化后6、帶阻濾波器的軟件實(shí)現(xiàn):由系統(tǒng)指標(biāo)
14、規(guī)范可編程:N為濾波器的階數(shù);zz和pz為系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn);kz為系統(tǒng)的增益:Fs=1000;Ap=3;As=20;Wp=50/500,450/500;Ws=200/500,300/500;N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As);zz,pz,kz=butter(N,Ws,stop);b,a=butter(N,Ws,stop);Subplot(2,1,1)H,f=freqz(b,a,512,Fs);Plot(f,abs(H)Xlabel(頻率/(HZ)Ylabel(幅度/(dB)Subplot(2,1,2)Zplane(b,a)極點(diǎn)(pz):增益(kz):圖6、帶阻濾波器的幅頻響應(yīng),
15、零極點(diǎn)圖圖7、量化前后階躍響應(yīng)圖8、群延時(shí)響應(yīng)圖9、量化前后脈沖響應(yīng)總結(jié)在信號(hào)與信息的過濾、檢測(cè)和預(yù)測(cè)等處理中,都要使用濾波器,數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中使用最廣泛的一種方法。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程中,可以借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果或直接采用典型的濾波器類型,減少工作量.。通過這個(gè)實(shí)驗(yàn),對(duì)設(shè)計(jì)帶通數(shù)字濾波器的整個(gè)過程有了很好的掌握。其中雙線性變換法,巴特沃斯設(shè)計(jì)模擬濾波器的運(yùn)用,也比較熟悉了。通過對(duì)數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì),熟悉了MATLAB的運(yùn)行環(huán)境,初步掌握了MATLAB語言在數(shù)字信號(hào)處理中一些基本庫函數(shù)的調(diào)用和編寫基本程序等應(yīng)用;熟悉了濾波器設(shè)計(jì)的一般原理,對(duì)濾波器有了一個(gè)感性的認(rèn)識(shí);學(xué)會(huì)了數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì)的一般步驟;加深了對(duì)濾波器設(shè)計(jì)中產(chǎn)生誤差的原因以及雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)的理解和認(rèn)識(shí)??傊?,使理論聯(lián)系了實(shí)際,鞏固并深化了對(duì)課本基本知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解,使理論得以升華。參考文獻(xiàn):1 邢培育,崔克清.一種基于TMS320C5402的數(shù)字IIR濾波器設(shè)計(jì)J.數(shù)據(jù)采集與處理,2002;2 高宇晨,戴居豐.改進(jìn)的IIR濾波器避免運(yùn)算溢出和定點(diǎn)DSP的實(shí)現(xiàn)J. 天津通信技術(shù),2001;3 陳愛萍,胡曉東.基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)J. 湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào),2004;4 齊海兵,平冠軍,陶文超.無限沖激響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)J.微計(jì)算機(jī)信息,2006;18