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1、第4章 圖像變換,4.1 傅里葉變換 4.2 離散余弦變換 4.3 K-L變換 4.4 小波變換,2020/7/20,第4章 圖像變換,為了有效和快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他空間，并且利用圖像在這個(gè)空間的特有性質(zhì)進(jìn)行處理，然后通過(guò)逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。 本章討論圖像變換重點(diǎn)介紹圖像處理中常用的正交變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。,2020/7/20,1.一維連續(xù)傅里葉變換 設(shè)f(x)為x的函數(shù)，如果f(x)滿(mǎn)足下面的狄里赫萊條件： (1)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)； (2)具有有限個(gè)極值點(diǎn)； (3)絕對(duì)可積。 則定義f(x)的傅里葉變
2、換為：,2020/7/20,4.1 連續(xù)傅里葉變換,從F(u)恢復(fù)f(x)稱(chēng)為傅里葉反變換，定義為：,2020/7/20,上述二式形成傅里葉變換對(duì)，記做 ：,函數(shù)f(x)的傅里葉變換一般是一個(gè)復(fù)數(shù)，它可以由下式表示： F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u)分別為F(u)的實(shí)部和虛部。,寫(xiě)成指數(shù)形式：,4.1 連續(xù)傅里葉變換,F(u)為復(fù)平面上的向量，它有幅度和相角：,2020/7/20,幅度：,相角：,幅度函數(shù)|F(u)|稱(chēng)為f(x)的傅里葉譜或頻率譜，(u)稱(chēng)為相位譜。,稱(chēng)為f(x)的能量譜或稱(chēng)為功率譜。,4.1 連續(xù)傅里葉變換,2.二維連續(xù)傅里葉變換 傅里葉變換可以推廣到兩個(gè)變
3、量連續(xù)可積的函數(shù)f(x,y)若f(x,y)滿(mǎn)足狄里赫萊條件，則存在如下傅里葉變化對(duì)：,2020/7/20,二維函數(shù)的傅里葉譜、相位和能量譜分別表示為：,2020/7/20,1.一維離散傅里葉變換 對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣可得到一個(gè)離散序列。設(shè)共采了N個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)離散序列可表示為f(0),f(1),f(N-1)。借助這種表達(dá)，并令x為離散空域變量，u為離散頻率變量，可將離散傅里葉變換定義為：,4.1.2 離散傅里葉變換,傅里葉反變換定義由表示：,2020/7/20,可以證明離散傅里葉變換對(duì)總是存在的。 其傅里葉譜、相位和能量譜如下：,4.1.2 離散傅里葉變換,2.離散傅里葉變換（DFT
4、）的矩陣表示法 由DFT的定義，N4的原信號(hào)序列f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里葉變換F(u)展開(kāi)為：,2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,將e指數(shù)項(xiàng)化簡(jiǎn)可寫(xiě)成矩陣形式：,2020/7/20,記作：,可用復(fù)平面的單位圓來(lái)求W的各元素。如圖4-1所示。當(dāng)N=4時(shí)，參看圖4.1(a)。 把單位圓分為N=4份，則正變換矩陣第u行每次移動(dòng)u份得到該行系數(shù)。,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,(a),(b),圖4.1 復(fù)平面單位圓 (a)N4 (b)N8,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,同理N=8見(jiàn)圖4-1(b)的單位圓。N=8的W陣應(yīng)把單
5、位圓分為8份，順時(shí)順次轉(zhuǎn)0份,1份、,7份，可得W陣為:,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,2.二維離散傅里葉變換 一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。 如果一幅二維離散圖像f(x,y)的大小為M*N，則二維傅里葉變換可用下面二式表示。,2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,在圖像處理中，一般總是選擇方形陣列，所以通常情況下總是M=N。正逆變換對(duì)具有下列對(duì)稱(chēng)的形式：,2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,3.二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 二維離散傅里葉變換有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為使用提供了極
6、大的方便。 1）分離性 二維離散傅里葉變換具有分離性,2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,分離性質(zhì)的主要優(yōu)點(diǎn)是可借助一系列一維傅里葉變換分兩步求得F(u,v)。第1步，沿著f(x,y)的每一行取變換，將其結(jié)果乘以1/N,取得二維函數(shù)F(x,v);第2步，沿著F(x,v)的每一列取變換，再將結(jié)果乘以1/N,就得到了F(u,v)。這種方法是先行后列。如果采用先列后行的順序，其結(jié)果相同。 如圖4.6所示。,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,行變換,列變換,圖4.6 把二維傅里葉變換作為一系列一維的計(jì)算方法,4.1.2 離散傅里葉變換,對(duì)逆變換f(x,y)
7、也可以類(lèi)似地分兩步進(jìn)行。,2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,2）平移性 傅里葉變換和逆變換對(duì)的位移性質(zhì)是指：,2020/7/20,由f(x,y)乘以指數(shù)項(xiàng)并取其乘積的傅立葉變換，使頻率平面的原點(diǎn)位移至(u0,v0)。同樣地，以指數(shù)項(xiàng)乘以F(u,v)并取其反變換，將空間域平面的原點(diǎn)位移至(x0,y0)。當(dāng)u0=v0=N/2時(shí)，指數(shù)項(xiàng)為：,4.1.2 離散傅里葉變換,即為：,2020/7/20,這樣，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以將f(x,y)的傅里葉變換原點(diǎn)移動(dòng)到N*N頻率方陣的中心，這樣才能看到整個(gè)譜圖。另外，對(duì)f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值。 此外，與連
8、續(xù)二維傅里葉變換一樣，二維離散傅里葉變換也具有周期性、共軛對(duì)稱(chēng)性、線(xiàn)性、旋轉(zhuǎn)性、相關(guān)定理、卷積定理、比例性等性質(zhì)。這些性質(zhì)在分析及處理圖像時(shí)有重要意義。,4.1.2 離散傅里葉變換,3.DFT應(yīng)用中的問(wèn)題 1）頻譜的圖像顯示 DFT在計(jì)算機(jī)圖像處理中計(jì)算的中間過(guò)程和結(jié)果要圖像化。對(duì)DFT來(lái)講不但f(x,y)是圖像,F(u,v)也要用圖像來(lái)顯示其結(jié)果。 譜圖像就是把|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在傅里葉變換中F(u,v)隨u,v的衰減太快，其高頻項(xiàng)只看到一兩個(gè)峰，其余皆不清楚。 由于人的視覺(jué)可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示效果，即為了顯示這個(gè)頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號(hào)為D(u,v
9、),2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,即用顯示D(u,v)來(lái)代替只顯示|F(u,v)|不夠清楚的補(bǔ)救方法。 譜的顯示加深了對(duì)圖像的視覺(jué)理解。如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻率并可方便地從頻域去除。 如圖4.7為圖像的傅里葉頻譜圖像,2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,圖4.7 圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，(b)頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過(guò)變換后的結(jié)果,(b),(c),4.1.2 離散傅里葉變換,a.,a.,2.頻譜圖像的移中顯示 常用的傅里葉正反變換公式都是以零點(diǎn)為中心的公式，其結(jié)果中心最亮點(diǎn)卻在頻譜圖像的左上角
10、，作為周期性函數(shù)其中心最亮點(diǎn)將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的零點(diǎn)移到顯示的中心。 當(dāng)周期為N時(shí)，應(yīng)在頻域移動(dòng)N/2。利用DFT的平移性質(zhì)，先把原圖像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再進(jìn)行傅里葉變換，其結(jié)果譜就是移N/2的F(u,v)。圖4-8所示。 應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了觀看，而實(shí)際F(u,v)數(shù)據(jù)仍保留為原來(lái)的值。,2020/7/20,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,圖4.8 頻譜圖像的移中顯示 (a)未移至中心的頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像,(a),(b),4.1.2 離散傅里葉變換,3.旋轉(zhuǎn)性 應(yīng)用中，對(duì)兩幅圖像進(jìn)行傅里葉變換后，為求兩幅圖像的相似性，
11、常須對(duì)頻域圖進(jìn)行旋轉(zhuǎn)尋找匹配。此時(shí)FT公式常用極坐標(biāo)表示為傅里葉變換對(duì)。設(shè)f(x,y)為原圖中任一點(diǎn)的坐標(biāo)， ，為(x,y)點(diǎn)與x軸的夾角，則傅里葉變換對(duì)為：,2020/7/20,若空域,頻域,4.1.2 離散傅里葉變換,則旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為：,2020/7/20,上式表明，在空域中對(duì)圖像f(x,y)旋轉(zhuǎn)0對(duì)應(yīng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)0，類(lèi)似的，對(duì)F(u,v)旋轉(zhuǎn)0也對(duì)應(yīng)于將其傅里葉反變換f(x,y)旋轉(zhuǎn)0。,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,(a),(b),圖4.9 傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性，對(duì)比圖4.8,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,4. 數(shù)字圖像傅里葉變換
12、的頻譜分布和統(tǒng)計(jì)特性 1)數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布 數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖4.10所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個(gè)角的周?chē)鷮?duì)應(yīng)于低頻成分，中央部位對(duì)應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上 因子進(jìn)行傅里葉變換即可實(shí)現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,圖4.10 二維傅里葉變換的頻譜分布,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,圖4.11 頻率位移示例,4.1.2 離散傅
13、里葉變換,2020/7/20,圖4.11為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對(duì)中心點(diǎn)是共軛對(duì)稱(chēng)的，利用這個(gè)特性，在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸時(shí)，僅存儲(chǔ)和傳輸它們中的一部分，進(jìn)行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對(duì)稱(chēng)性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。,2）圖像傅里葉變換的統(tǒng)計(jì)分布 （1）傅里葉變換后的零頻分量F（0，0），也稱(chēng)作直流分量，根據(jù)傅里葉變換公式有：,它反映了原始圖像的平均亮度。,4.1.2 離散傅里葉變換,2020/7/20,（2）對(duì)大多數(shù)無(wú)明顯顆粒噪音的圖像來(lái)說(shuō)，低頻區(qū)集中了85的能量，這一點(diǎn)成為對(duì)圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對(duì)高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達(dá)到壓縮的目的。 （3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域，對(duì)應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。,4.1.2 離散傅里葉變換,
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